2.Если имеется хотя бы одна пара мнимых корней, а все остальные "левые", то система находится на границе устойчивости (нейтрально-устойчивая система),Рис.2.5.

3.Если имеется полюс в начале координат (а все остальные "левые"),то система нейтральна,Рис.2.6 Критерии устойчивости линейной стационарной системы

Критерии устойчивости - это правила, позволяющие оценить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения.

Общие критерии устойчивости движения (линейных и нелинейных систем) разработаны Ляпуновым А.М.(серия публикаций в 1892 г). Систематическое изложение теории появилось в 1935 г. в книге "Общая задача устойчивости движения".

Большое значение для развития теории устойчивости имели работы Жуковского Н.В.( статья в "Ученых записках Московского Университета" - " О прочности движения"). В теории устойчивости нелинейных систем важны работы Крылова Н.М. Боголюбова (1932 г) посвященные устойчивости продольного движения аэроплана.

В исследовании устойчивости систем управления на основе частотного метода (применение АФЧХ) основополагающими являются работы Найквиста (1932 г.) и Михайлова А.В (1936 г.).

Первое применение ЛЧХ для решения задач устойчивости следящих систем связано с именами Боде и Никольса (1949-1951 г).

Различают две группы критериев: алгебраические и частотные.

Алгебраические критерии основаны на связи коэффициентов характеристического уравнения системы с его корнями. Частотные критерии основаны на исследовании поведения частотных характеристик системы.

В основе алгебраических критериев лежат работы швейцарских математиков Рауса Е.Д (1877 г.) и Гурвица (1882 г.), посвященные поиску условий отрицательности корней характеристического уравнениями, определяющих устойчивость решения дифференциального уравнения. Поэтому с их именами связаны названия алгебраических критериев устойчивости линейной системы. Для систем регулирования небольшого порядка (не более пятого) применяется алгебраический критерий Гурвица. Критерий Рауса, в основном, используется для систем высокого порядка, его алгоритм удобен для применения ЭВМ.

Алгебраический критерий устойчивости Гурвица

В основе критерия лежит анализ диагональных определителей матрицы Гурвица.

Пусть характеристическое уравнение системы в целом приведено к виду:

Матрица Гурвица составляется из коэффициентов уравнения в последовательности:

- по диагонали матрицы записываются коэффициенты уравнения, начиная с коэффициента и кончая коэффициентом

-каждый столбец матрицы получается дополнением диагонали вверх и вниз, вверх индексы коэффициентов растут, вниз последовательно уменьшаются;

-при отсутствии в уравнении какого-либо коэффициента и вместо коэффициентов с индексами меньше нуля и больше "n" записывается ноль.

Например ,для системы четвертого порядка, получаем:

Система устойчива, если ,при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения системы, все диагональные определители положительны.

Система является нейтрально - устойчивой, если, при положительности диагональных определителей, предпоследний определитель матрицы равен нулю (при )

Система нейтральна, если при положительности диагональных определителей, коэффициент .

Так, для характеристического полином третьего порядка: ,достаточно выполнения неравенства

Критерий позволяет определить граничные значения отдельных параметров в смысле устойчивости. Так для разомкнутой следящей системы, имеющей в разомкнутом состоянии ПФ вида

Получаем характеристический полином замкнутой системы

Определим граничное значение коэффициента передачи, заменяя знак неравенства в критерии Гурвица знаком равенства:

Откуда получаем:

Для случая, когда ПФ разомкнутой системы имеет вид:

;

Получаем:

Недостатками критерия являются:

- лавинообразное нарастание громоздкости расчетов с ростом порядка уравнения;

-отсутствие гибкости и наглядности при решении задач синтеза системы, так как сложно прослеживается связь с параметрами системы;

-отсутствие непосредственной оценки близости системы к границе устойчивости.