Лабораторная работа №2 Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую

Цель работы. Изучение методов и отработка навыков перевода чисел из одной позиционной системы счисления в другую.

Количество различных цифр р, используемых в позиционной системе, определяет название системы счисления и называется основанием p-й системы счисления.

Любое число N в позиционной системе счисления с основанием р может быть представлено в виде полинома от основания р:

,

где N – число, – цифры числа (коэффициенты при степенях р), р – основание системы счисления (р > 1).

Числа записывают в виде последовательности цифр:

– точка в последовательности отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при неотрицательных степенях от коэффициентов при отрицательных степенях). Точка опускается, если число целое (нет отрицательных степеней).

В компьютерных системах применяют позиционные системы счисления с недесятичным основанием: двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную.

В аппаратной основе ЭВМ лежат двухпозиционные элементы, которые могут находиться только в двух состояниях, одно из которых обозначается 0, а другое – 1. Поэтому арифметико-логической основной ЭВМ является двоичная система счисления.

Двоичная система счисления. Используется две цифры: 0 и 1. В двоичной системе любое число может быть представлено в виде , где либо 0, либо 1.

Эта запись соответствует сумме степеней числа 2, взятых с указанными коэффициентами:

.

Восьмеричная система счисления. Используется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Употребляется в ЭВМ как вспомогательная система для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры восьмеричной системы используется три двоичных разряда (триада) (табл. 1).

Шестнадцатеричная система счисления. Для изображения чисел используется 16 цифр. Первые десять цифр этой системы обозначаются цифрами от 0 до 9, а старшие шесть цифр – латинскими буквами: А (10), В (11), С (12), D(13), E(14), F(15). Шестнадцатеричная система, также как и восьмеричная, используется для записи информации в сокращенном виде. Для представления одной цифры шестнадцатеричной системы счисления используется четыре двоичных разряда (тетрада) (табл. 1).

Таблица 1

Алфавиты позиционных систем счисления (с.С.)

Двоичная (основание 2)	Восьмеричная (основание 8)	Десятичная (основание 10)	Шестнадцатеричная (основание 16)
0 1	Двоичные триады 000 001 010 011 100 101 110 111	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	Двоичные тетрады 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Задание 1

Переведите числа из заданных систем счисления в десятичную систему.

Методические указания

Перевод чисел в десятичную систему осуществляется путем составления суммы степенного ряда с основанием той системы, из которой число переводится. Затем подсчитывается значение этой суммы.

Пример

а) Перевести 10101101,101₂ 10 с.с.

Ответ: .

б) Перевести 10 с.с.

.

Ответ: .

в) Перевести 10 с.с.

.

Ответ: .

Задание 2

Переведите целые числа из десятичной системы в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы.

Методические указания

Перевод целых десятичных чисел в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы осуществляется последовательным делением десятичного числа на основание той системы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное, равное нулю. Число в новой системе записывается в виде остатков от деления, начиная с последнего.

Примеры.

а) Перевести 8 с.с.

Можно записать:

181: 8 = 22 (остаток 5)

22: 8 = 2 (остаток 6)

2:8 = 0 (остаток 2)

Ответ: .

б) Перевести 16 с.с.

Можно записать:

622:16=38 (остаток )

38:16=2 (остаток 6)

2:16=0 (остаток 2)

Ответ: .

Задание 3

Переведите правильные десятичные дроби из десятичной системы в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы.

Методические указания

Для перевода правильной десятичной дроби в другую систему эту дробь последовательно умножают на основание той системы, в которую она переводится. При этом умножаются только дробные части полученных произведений. Если в результате умножения на некотором шаге дробная часть становится равной нулю, это означает, что получили конечную дробь в новой системе счисления. В новой системе дробь записывается в виде целых частей полученных произведений, начиная с первого. Не все конечные дроби в результате перевода станут конечными, зачастую в новой системе счисления получается бесконечная дробь.

Примеры

Перевести 8 с.с.

Условно отделим вертикальной чертой целую и дробную части полученных произведений.

Результат перевода есть последовательность цифр, состоящих из целых частей произведений, записанная сверху вниз.

Ответ: .

Задание 4

Переведите неправильные десятичные дроби из десятичной системы в восьмеричную, шестнадцатеричную и двоичную системы.

Методические указания

Для перевода неправильной десятичной дроби в систему счисления с недесятичным основанием необходимо отдельно перевести целую часть и отдельно дробную.

Пример

Перевести 2 с.с.

1. Переведем целую часть:

2. Переведем дробную часть:

Получили ; .

Результат перевода .

Ответ: .

Задание 5

Переведите числа из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему.

Методические указания

Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) (см. табл. 1) или четырехразрядным двоичным числом (тетрадой) (см. табл. 1), при этом отбрасывают незначащие нули в старших и младших (после запятой) разрядах.

Примеры

а) ;

б)

Задание 6

Переведите числа из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления в двоичную систему.

Методические указания

Для перехода от двоичной к восьмеричной (шестнадцатеричной) системе поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.

Примеры

а) Перевести

б) Перевести

Задание 7

Переведите числа из восьмеричной в шестнадцатеричную систему счисления и из шестнадцатеричной в восьмеричную систему счисления.

Методические указания

Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.

Пример

Перевести

Ответ: .