3.7. Передаточные функции следящих систем

Из изложенного выше следует, что любая из передаточных функций: операторный коэффициент передачи W(p), передаточная функция W(s) и частотная передаточная функция (комплексный коэффициент передачи) W(jw) может быть получена путем замены переменных в известном выражении для одной из вышеназванных передаточных функций.

Определим передаточные функции, связывающие входные и выходные переменные в замкнутой следящей системе, представленной математической моделью (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Структурная схема следящей системы

Исходные соотношения:

– ошибка слежения. (3.7)

В свою очередь

(3.8)

Подставим (3.8) в (3.7) и сгруппируем слагаемые. В результате получим

,

где и ─ соответственно передаточные функции от воздействия к ошибке и от возмущения к ошибке.

Найдены, таким образом, передаточные функции, связывающие ошибку слежения с входным воздействием и с флюктуационной составляющей.

Теперь подставим (3.7) в (3.8) и сгруппируем слагаемые

где и .

и – передаточные функции от воздействия к управляемой величине (связывающие входную и выходную величины) и от возмущения к управляемой величине.

Можно значительно упростить процесс определения передаточной функции, если использовать следующую формулу:

,

где u – входное воздействие, а v – выходная величина;

– передаточная функция прямой цепи, связывающей входное воздействие и выходную величину.

– передаточная функция разомкнутой системы (размыкается в точке подачи обратной связи и определяется как передаточная функция от ошибки x(t) к управляемой величине y(t) .

3.8. Передаточные функции в обобщенной структурной схеме радиотехнической следящей системы

Основная передаточная функция – передаточная функция замкнутой системы. Определяется отношением изображений по Лапласу управляемой величины и задающего воздействия:

где

Передаточная функция разомкнутой системы – отношение изображений по Лапласу управляемой величины и ошибки слежения.

Передаточная функция от воздействия к ошибке – отношение изображений ошибки и задающего воздействия:

– передаточная функция от возмущения к управляемой величине:

3.9. Типовые динамические звенья следящих систем

Для упрощения анализа следящих систем сложные динамические звенья, описываемые дифференциальным уравнениями высоких порядков, разбивают на ряд простых таким образом, чтобы дифференциальные уравнения, описывающие их работу, были не выше второго порядка:

.

Этому уравнению соответствует передаточная функция

Всё множество динамических звеньев, независимо от назначения, конструктивных особенностей, элементной базы классифицируется по виду дифференциального уравнения, описывающего работу звена или его передаточной функции. По этому признаку классификации различают следующие типы динамических звеньев:

- позиционные;

- интегрирующие;

- дифференцирующие.

К позиционным звеньям относятся: безынерционное, апериодическое звено 1-ого порядка, апериодическое звено 2-ого порядка, колебательное звено.

К дифференцирующим звеньям относятся: идеальное дифференцирующее, инерционное дифференцирующее, форсирующее.

К интегрирующим звеньям относятся: идеальное интегрирующее, инерционное интегрирующее, изодромное.

Апериодическое звено 1ого порядка описывается ДУ следующего вида:

или

где – выходная величина; (t) – входная величина; Т─ постоянная времени звена; k─ коэффициент передачи.

Передаточная функция

;

,

где ; .

К этим звеньям относятся исполнительные двигатели, усилители мощности, магнитные усилители , RC – фильтры.

АЧХ звена определяется выражением:

где – сопрягающая частота.

ФЧХ звена:

Переходная характеристика:

Весовая функция

Графическое изображение переходной и весовой функции (рис. 3.6):

Рис. 3.6. Переходная и весовая характеристики апериодического звена

Логарифмическая амплитудно - частотная характеристика

Длительность переходного процесса t_п = 3T; q(t_п) = 0,95q.

Полоса пропускания

При уменьшении постоянной времени Т увеличивается ω_п, и при Т = 0 переходная характеристика будет повторять входной процесс,и в результате получим звено, описываемое уравнением

;

такое звено называется безынерционным ;

Передаточная функция, АЧХ и ФЧХ звена соответственно равны:

W(s) = k; A(ω) = k;Ψ(ω) = 0.

К безынерционным звеньям обычно относят звенья, ширина спектра сигналов, на входах которых значительно уже полосы пропускания.

Рассмотрим пример RC – цепи (рис.3.7)

Такая цепь относится к апериодическому звену и имеет передаточную функцию

где T =R1R2C/R1+R2.

Рис.3.7. Пример апериодического звена

При и апериодическое звено трансформируется в безынерционное звено.

К колебательным звеньям относят звенья, описываемые дифференциальным уравнением следующего вида:

где ξ – коэффициент затухания (для звеньев автоматических систем ξ = 0,5…0.7).

К таким звеньям относятся RLC контура, акселерометры и др.

Обозначим (собственная частота) и разделим почленно все слагаемы числителя и знаменателя на Т²; в результате получим:

где – частота затухающих колебаний;

.

Рис. 3.8. Переходная и логарифмическая амплитудно-частотная характеристики колебательного звена.

По мере увеличения ξ, длительность переходного процесса увеличивается, частота колебаний уменьшается и при процесс может быть описан ДУследующего вида:

или

,

где ,

Такое звено называется апериодическим звеном 2-го порядка. Передаточная функция звена определяется выражением

Апериодическое звено 2ого порядка может быть представлено как два последовательно соединенных апериодических звена 1ого порядка. Характеристики звена:

и – сопрягающие частоты.

ЛАЧХ (рис.3.9):

ФЧХ:

Переходная характеристика (рис.3.9): .

Рис. 3.9. Переходная и логарифмическая амплитудно-частотная характеристики апериодического звена 2-го порядка

Дифференцирующие звенья. К идеальным дифференцирующим звеньям

относят звенья, выходная величина которых пропорциональна производной входной величины:

В автоматических системах единственным примером идеального дифференцирующего звена является тахогенератор.

Величина k имеет размерность времени, называется постоянной времени дифференцирования и обозначается Т.

Она может быть определена, если входные и выходные величины имеют одну и ту же физическую природу следующим образом: постоянная времени определяется как интервал времени от момента подачи на вход линейно изменяющегося напряжения до момента времени, когда напряжение на выходе сравняется с напряжением на входе (рис. 3.10).

Рис.3.10. К определению постоянной времени идеального дифференцирующего звена

Характеристики идеального дифференцирующего звена:

; ; ; q(t) = k δ(t);

.

Рис. 3.11. ЛАЧХ идеального дифференцирующего звена

К инерционным дифференцирующим звеньям относятся звенья, имеющие следующие характеристики:

; ; ; .

Рис.3.12. Переходная характеристика инерционного

дифференцирующего звена

Рис. 3.13. ЛАЧХ инерционного дифференцирующего звена

Примером инерционного дифференцирующего звена является RC цепь (рис. 3.13).

Рис. 3.14. Схема инерционного дифференцирующего звена

Форсирующее звено представляет собой параллельное соединение безынерционного и идеального дифференцирующего звеньев:

.

Звено используется для коррекции передаточных функций систем (компенсирует запаздывание фазы, вносимое интегрирующими звеньями).

Характеристики звена (рис.3.14):

;

; .

Рис. 3.15. Характеристики форсирующего звена

Интегрирующие звенья. К идеальным интегрирующим звеньям относят звенья, выходная величина у которых равна интегралу от входной величины:

;

где ; Т – постоянная времени звена.

Если физическая природа входной и выходной величин одинакова (например, напряжение) постоянная времени определяется как интервал времени от момента подачи на вход постоянного напряжения до момента времени, когда напряжение на выходе сравняется с напряжением на входе ( рис.3.15).

Рис.3.16. К определению постоянной времени идеального

интегрирующего звена

Характеристики идеального интегрирующего звена (рис. 3.16) определяются следующими выражениями:

; ; ; ;

; .

Примером такого звена является исполнительный двигатель, у которого угол поворота ротора равен интегралу от входного напряжения.

Рис.3.17. Характеристики идеального интегрирующего звена

К инерционным интегрирующим звеньям относятся звенья, передаточная функция которых определяется выражением:

;

Другие характеристики звена (рис.3.17):

; ;

;

Это звено можно рассматривать как последовательное соединение апериодического звена 1-го порядка и идеального интегратора.

Рис.3.18. Характеристики инерционного интегрирующего звена

Изодромное звено представляет параллельное соединение безынерционного и идеального интегрирующего звеньев:

=

где .

Характеристики звена:

; ;

Переходная характеристика и ЛАЧХ звена изображены на рис.3.18.

Рис.3.19. Характеристики изодромного звена

Звено временного запаздывания не входитв приведенную выше классификацию, однако вследствие широкого применения в схемах следящих систем целесообразно привести его характеристики:

; .

Звено может быть представлено как n последовательно соединенных апериодических звеньев 1 – го порядка.