21. Исследование произвольных числовых рядов на сходимость.

Теорема 1. Необходимый признак сходимости ряда.

Если сходятся, то a_n 0

Д-во:

1) сходится, т.е. =S;

2) a_n =S_n-S_n-1 ;

3) an= (Sn-Sn-1)= S-S=0.

Замечание

Теорема 1 дает необходимый, но не достаточный признак сходимости ряда, т.е. из a_n 0 сходимость ряда может и не следовать.

Например,

1) в ряде a_n 0, но он расходится;

2) в ряде a_n 0 и он сходится.

На практике необходимый признак позволяет установить расходимость ряда.

Например, = + + +…

a_n= = , т.е. ряд расходится.

Теорема 2. Необходимый и достаточный признак сходимости ряда.

Для того, чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы сходился любой остаток ряда.

Объясняется это тем, что ряд и его остаток отличаются на конечную сумму, а значит, сумма ряда от суммы остатка отличается на конечное число.

Замечание

Теорема 2 означает, что у числового ряда в случае необходимости можно отбросить множество начальных слагаемых, то есть любую сумму.

Факт сходимости/расходимости от этого не нарушается.

Суммой рядов = (a₁+b₁) + (a₂+b₂) + (a₃+b₃) …

Теорема 3

Пусть =А, =B

Тогда =А+В

Пусть ʎ , тогда = ʎ А– сходится.

22. Исследование на сходимость знакоположительных рядов.

Теорема 1. Критерий сходимости знакоположительного ряда

Для того, чтобы знакоположительный ряд сходился необходимо и достаточно чтобы последовательность его частичных сумм была ограниченна сверху.

Док-во:

«=>»

Дано: сходится

Док-ть: последовательность ограничена сверху.

По условию ряд сходиться, значит, последовательность частных сумм сходится по определению сходящегося ряда, а любая сходящаяся последовательность ограничена в том числе сверху.

«<=»

Дано последовательность ограничена сверху.

Док-ть: сходится

Т.к. все числа ряда положительные, последовательность возрастает. А по условию она ограничена сверху, тогда по теореме Вейерштрасса она сходиться=> и ряд сходится по определению сходящегося ряда.

23. Первая теорема сравнения.

Пусть для 2х знакоположительных рядов и , а a_n  b_n. nN, тогда:

1) Если – сходится, то - сходятся

2) Если – расходится, то – расходится

Доказательство: 1) Пусть ряд b_n – сходится к сумме S ( =S). Выпишем частичную сумму ряда a_n (А_n). A_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n b₁+b₂+…+b_n=B_n<S. Получилось, что последовательность частичных сумм ряда a_n – ограничена сверху => по теореме 1 они сходятся.

2) Является прямым следствием 1ого утверждения, так как A=>B, то не B=> не А.

Замечание Т.к. при изъятии из ряды конечного числа, его начальных слагаемых, т.е. частичной суммы фактически сходится или расходится, то не разрушается первая теорема сравнения сохраняя силу в случае если неравенство a_nb_n будет выполняться не с 1 номера.

24. Вторая теорема сравнения.

Теорема.

Пусть для двух знакоположительных рядов существует = r > 0. Тогда ряды ведут себя одинаково.

Доказательство:

1. Пусть сходится. Докажем, что сходится. Выберем какое-то ℓ (лямбда) > r

Из существования предела вытекает существование такого номера , что для любого n ℓ

• 

Ряд сходится в силу сходимости , тогда сходится по первой теореме сравнения. Вернем в ряд первые ( – факт сходимости от этого не нарушится.

2. Пусть сходится. Докажем, что сходится. Для этого достаточно поменять ролями заданные ряды = > 0. Тогда по пункту 1) из сходимости => сходится.

3. Случай расходимости напрямую следует из первых двух пунктов.

(Ряд сходится = > ряд сходится)  ( Ряд расходится => Ряд расходится)

(Ряд сходится => Ряд сходится)  (Ряд расходится => Ряд расходится)