Задачи на нахождение суммы кредита.
Задача 1. (Тренировочный вариант 6) 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 1370тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение: Пусть начальная сумма кредита равна S. По условию, ежемесячный долг перед банком должен уменьшаться равномерно. Этот долг состоит из двух частей: постоянной ежемесячной выплаты и ежемесячной равномерно уменьшающейся выплаты процентов.
;
;
;
…;
.
- размеры долгов (остаток по кредиту
на конец месяца), тогда ежемесячная
выплата процентов выглядит следующим
образом:
;
;
;
; ...;
- ежемесячный %
Находим размеры выплат:
1-й
месяц:
+
=
2-й
месяц:
+
∙
=
3-й
месяц:
+
∙
=
и.т.д . Замечаем, что выходит
последовательность, которая уменьшается
на 2. Тогда используя формулу n-го
члена арифметической прогрессии аn
= а1
+ d(n
- 1) при а1=148,
d=
-2
находим
12-й месяц: а12
= 148 - 2(11 - 1) = 126, т.е.
.
Так как нам известна сумма первых двенадцати месяцев составляем уравнение:
+
= 1370000
Вынесем
за скобки общий множитель и воспользуемся
формулой суммы членов арифметической
прогрессии Sn
=
S
=
=
2000000 Ответ: 2000000
Задача 2. (Тренировочная работа 18). 31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму кредит под 11% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 11%), затем переводит в банк 3696300 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение:
Воспользуемся формулой:
= 0, которую вывели при решении задач на
нахождение ежегодной (ежемесячной)
выплаты,
где p= 1+0,11=1,11, х = 3696300
0
→ S
=
=
= 6330000.
Ответ: 6330000рублей
Задача 3. (Тренировочная работа 15)15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что восьмая выплата составила 99,2 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования.
Решение: S - сумма кредита, r = 3%
Сперва нужно вычислить сумму кредита. Известно, что восьмая выплата = 99,2тыс. Находим размеры выплат:
1-й
месяц:
+
=
2-й
месяц:
+
∙
=
3-й
месяц:
+
∙
=
....
8-й
месяц:
→
=
99200 → S
= 99200∙
= 1200000, то есть планируется взять в кредит
1200000рублей.
Теперь, чтобы найти сумму которую нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования воспользуемся формулой суммы членов арифметической прогрессии Sn = . Для этого сперва найдем пятнадцатую выплату:
а15
= 145 - 3∙14 = 103, т.е.
Общая
сумма равна:
+
+…
S
S15
=
= 1860, т.е.
=
= 1488000
Ответ: 1488000