Задание №10.

График функции ; где и прямая , заданная уравнением , имеют ровно две общие точки. 1) Найдите а, если площадь фигуры, ограниченная графиком функции и прямой , равна . 2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции в точке с положительной абсциссой. Среди этих прямых выбрана та, которая пересекает ось в точке с наименьшей ординатой. Найти эту ординату.

Ответ:

Задание №11.

График функции ; где и прямая , заданная уравнением , имеют ровно две общие точки. 1) Найдите а, если площадь фигуры, ограниченная графиком функции и прямой , равна . 2) Рассматриваются прямые, каждая из которых касается графика функции в точке с положительной абсциссой. Среди этих прямых выбрана та, которая пересекает ось в точке с наибольшей ординатой. Найти эту ординату.

Ответ:

Задание №12.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции .

Решение:

Введем обозначения . Поскольку , то .

Наименьшее значение данной функции соответствует наибольшему значению произведения . Так как , то наибольшее значение необходимо искать при . В этом случае можно записать, что .

Наибольшее значение достигается при . Следовательно, наименьшее значение исходной функции достигается при и равно .

Наименьшее значение произведения , где , достигается при условии, что , причем необходимо, чтобы абсолютные величины и были наибольшими. При будет . Именно в этой точке произведение достигает минимума, так как принимает минимальное, а - максимальное из возможных значений. Итак, при исходная функция имеет наибольшее значение .

Ответ: .

Задание №13.

Найти область определения функции .

Решение:

С одной стороны, , так как , а с другой стороны , так как стоит под знаком квадратного корня. Остаётся одна возможность: .

Ответ: .

Задание №14.

Найти область определения функции .

Решение:

Чтобы существовал , необходимо и достаточно, чтобы , то есть .

Из найденных интервалов нужно исключить точки, в которых не существует, то есть числа вида . Два из этих чисел: и лежат в найденных интервалах.

Ответ:

Задание №15.

Доказать, что функция не является периодической.

Решение:

найдем корни функции

Рассмотрим положительные корни .

Предположим, что - период функции. Тогда, если при функция равна нулю, то и при она тоже равна нулю, то есть . Аналогично . Вычитая одно равенство из другого, получим , то есть . Возведем в квадрат: . После вторичного возведения в квадрат получим .

Это равенство возможно лишь при , так как все остальные его элементы – целые.

Однако числа и выбраны так, что и , то есть .

Что и требовалось доказать.

Тема: «Решение уравнений и систем уравнений».

Задание №16.

Сколько решений системы уравнений удовлетворяют условию ?

Ответ: 10 решений.

Задание №17.

Сколько решений системы уравнений удовлетворяют условию ?

Ответ: 3 решения.

Решение:

- круг, с центром и радиусом 3 . Отсюда . Построив данный круг и отметив точки, перебирая n и k, убеждаемся, что три решения системы уравнений удовлетворяют плоскости круга.

Задание №18.

Решить уравнение .

Решение:

ОДЗ:

.

;

, так как и не являются корнями

Теперь необходимо исключить целые k, лежащие в промежутке Заметим, что если одна из частей данного уравнения обращается в бесконечность, то и вторая должна быть бесконечностью, то есть достаточно проверить, чтобы , где . Чтобы k было целым, необходимо, чтобы . При этом получаем .

• ; (не подходит),

• ; (не подходит) .

Ответ: ;

.

Задание№19.

Решить уравнение

О твет:

Тема: «Решение неравенств».

Задание№20.

Решить неравенство .

Решение:

Для того чтобы подступиться к этому неравенству, посмотрим, как ведут себя функции в его левой и правой частей , .

Поскольку должно быть , то . На отрезке функция монотонно возрастает, поэтому функция монотонно убывает на этом отрезке. Отсюда следует, что наименьшее значение функции достигается в точке ; при этом . Таким образом, правая часть неравенства больше или равна 2.

С другой стороны, покажем, что функция , определённая на отрезке , не превосходит 2. Действительно, найдём критические точки :

В критической точке функция меняет знак с плюса на минус, следовательно, функция достигает максимума в точке и .

Итак, мы показали, что для всех допустимых значений , при этом равенства достигаются лишь в точке . Отсюда следует, что у исходного неравенства лишь одно решение .