Тема 1. Теория пределов.

Основные определения, формулы, примеры.

Определение 1: Абсолютной величиной числа а называется само число а, если

положительно или нуль, или – а, если а отрицательно.

Абсолютная величина а обозначается символом |а|.

Например: |15| = 15; |-15| = - (-15) = 15.

Определение 2: Математическая величина называется переменной, если она может

получать различные числительные зачисления в условиях

рассматриваемого вопроса.

Например: Расстояние от земли для камня, брошенного вверх, есть величина переменная.

Определение 3: Переменная величина называется бесконечно малой, если

она при своем изменении становится и затем остается по

абсолютной величине меньше любого наперед заданного сколь

угодно малого положительного числа

ε : | | < ε

Замечание: Постоянная величина а, отличная от нуля, не является бесконечно малой величиной, так как никакая постоянная величина, а ≠ 0 не может по абсолютной величине оказаться меньше любого, сколь угодно малого положительного числа ε; ведь достаточно взять в качестве ε какое – нибудь положительное число, меньшее |а|.

Свойства бесконечно малых величин:

1. Алгебраическая сумма любого постоянного числа бесконечно малых слагаемых есть величина бесконечно малая.

Определение 4: Переменная величина называется ограниченной, если при своем изменении она по абсолютной величине никогда не превосходит некоторого положительного числа.

2. Произведение ограниченной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

Следствие:

1. Произведение постоянной величины на бесконечно малую есть величина бесконечно малая.

2. Произведение 2 ^х бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

3. Произведение любого постоянного числа сомножителей, среди которых хотя бы один есть величина бесконечно малая, а остальные – величины ограниченные (ли постоянные), есть величина бесконечно малая.

Определение 5: Число А называется пределом переменной величины у, если разность у – А = есть величина бесконечно малая.

ИЛИ

Переменная у стремится к пределу А (А – постоянное число), если разность

у – А = есть величина бесконечно малая; запись lim у = А обозначает, что число А есть предел переменной у.

Следствие:

1. Предел бесконечно малой величины есть нуль.

2. Если lim = 0, то есть бесконечная величина.

3. Предел постоянной величины равен самой постоянной.

Определение 6: Число А называется пределом переменной величины у, если разность у - А в процессе изменения у становится и при дальнейшем изменении у остается по абсолютной величине меньше любого наперед заданного положительного числа ε, как бы мало это число не было: |у – А| < ε.

З амечание: Когда речь идет о пределе переменной у при неограниченном приближении (стремлении) переменной х к числу а (х а), то само число а из значений, принимаемых переменной х, исключается.

Основные теоремы о пределах.

ТП 1: Предел алгебраической суммы постоянного числа переменных равен алгебраической сумме предел слагаемых.

Lim (y + z) = Lim y + Lim z.

ТП 2: Предел произведения постоянного числа переменных величин равен произведению их пределов.

Lim (y х z) = Lim y х Lim z.

ТП 3: Предел частного двух переменных величин равен частному пределов делимого и делителя, если предел делителя отличен от нуля.

Lim =

Например:

1. Lim (х² + 4х + 5)

х → 1

Решение: Пользуясь ТП 1 и ТП 2 и следствием из О5, находим:

Lim х² + Lim 4х + Lim 5 = Lim х х Lim х + 4 х Lim х + 5 = 1 х 1 + 4 х 1 + 5

х → 1 х → 1 х → 1 х → 1 х → 1 х → 1

Ответ: Lim (х² + 4х + 5) = 10

х → 1

2. Lim

х → 2

Решение: Пользуясь ТП 3, находим:

=

т.к знаменатель дроби должен быть отличен от нуля, то вычислим предел знаменателя:

Lim (3х +8) = Lim 3х + Lim 8 = 3Lim х + 8 = 3 х 2 + 8 х 1 + 5

х → 2 х → 2 х → 2 х → 2

он отличен от нуля, поэтому вычислим предел числителя:

Lim (х² -5х) = Lim х² - Lim 5х = Lim х х Lim х – 5 х Lim х = 2 х 2 - 5 х 2 = - 6.

х → 2 х → 2 х → 2 х → 2 х → 2 х → 2

= = -

Ответ: = -

3. Lim

х → 0

Решение:

Здесь предел знаменателя равен нулю, поэтому теоремы о пределах сразу применить нельзя. Поэтому предварительно преобразуем выражение, стоящее под знаком предела.

Т.к. значение х = 0 исключается из числа значений, принимаемых переменной х при х→ 0, то дробь можно сократить на х³:

Lim = Lim = Lim (5x + 6) = Lim 5x + Lim 6 = 5 x Lim x + 6

х → 0 х → 0 х → 0 х → 0 х → 0 х → 0

= 5 x 0 + 6 = 6.

Ответ: = 6.

4. Lim

х → 1

Решение:

Решить этот предел непосредственным применением теорем о пределах нельзя, т.к. предел знаменателя равен нулю, поэтому преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:

= = =

= , т.к. значение х = 1 исключается из числа значений, принимаемых переменной х при х→1, то дробь можно сократить на (х - 1):

= Lim (x + 4) = Lim x + Lim 4 = 1 + 4 = 5.

х → 1 х → 1 х → 1

Ответ: Lim = 5.

х → 1