1.2.1 Правило Крамера для решения систем линейных уравнений
Правило Крамера заключается в следующем. Если определитель Δ=det(A) матрицы системы из n уравнений с n неизвестными A∙X=B отличен от нуля, то система имеет единственное решение (x1, x2,…, xn), определяемое по формулам Крамера: xi=Δi/Δ, где Δi – определитель матрицы, полученной из матрицы системы A заменой i-го столбца вектором свободных коэффициентов B. Таким образом, для решения системы линейных уравнений методом Крамера необходимо выполнить следующие действия:
1) представить исходную систему линейных уравнений в матричном виде, то есть сформировать матрицу коэффициентов системы A и вектор свободных коэффициентов B;
2) вычислить главный определитель матрицы A;
3) сформировать вспомогательные матрицы для вычисления определителей Δi;
4) вычислить определители Δi;
5) найти решение системы по формуле: xi=Δi/Δ.
В системе MATLAB для нахождения определителя матрицы существует операнд det, имеющий следующую форму записи:
D=det(A)
где: A – исходная матрица, D – значение определителя матрицы A.
Для замены i-го столбца матрицы A вектором B того же размера необходимо выполнить следующие операции:
A1=A;
A1(:, i)=B;
где: A1 – новая матрица, сформированная их исходной матрицы A, заменой элементов i-го столбца соответствующими элементами вектора-столбца B.
1.2.2 Метод обратной матрицы для решения систем линейных уравнений
Метод обратной матрицы для решения системы линейных уравнений состоит в следующем. Для системы из n линейных уравнений с m неизвестными вида A∙X=B, при условии, что определитель матрицы A не равен нулю, единственное решение системы можно представить в виде: X=A−1∙B. Таким образом, для того, чтобы решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы необходимо выполнить следующие действия:
1) сформировать матрицу коэффициентов системы A и вектор свободных коэффициентов B для заданной системы уравнений;
2) решить систему уравнений, представив вектор неизвестных как произведение матрицы, обратной к матрице системе, и вектора свободных коэффициентов.
В системе MATLAB для нахождения обратной матрицы используется команда следующего вида:
С=inv(A)
где: A – исходная матрица, C – обратная матрица.
1.2.3 Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса основано на том, что от исходной системы переходят к эквивалентной системе, которая решается проще, чем исходная. Метод Гаусса представляет собой метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований (перестановка уравнений системы, умножение уравнений на число, отличное от нуля, сложение уравнений) система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Метод Гаусса состоит из двух этапов. Первый этап – это прямой ход, в результате которого расширенная матрица системы путем элементарных преобразований приводится к ступенчатому виду:
На втором этапе полученную ступенчатую матрицу преобразуют так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица, при этом последний столбец (n+1) содержит решение исходной системы линейных уравнений:
Порядок решения системы линейных уравнений методом Гаусса состоит из следующей последовательности действий:
1) сформировать матрицу коэффициентов системы A и вектор свободных коэффициентов B для заданной системы уравнений;
2) сформировать расширенную матрицу системы, конкатенацией матрица A и массива B;
3) привести расширенную матрицу к ступенчатому виду;
4) найти решение системы, выделив последний столбец матрицы, полученной на предыдущем этапе.
В системе MATLAB для реализации обоих этапов метода Гаусса, заключающегося в приведении исходной матрицы к треугольному (ступенчатому) виду, таким образом, чтобы первые n столбцы матрицы составляли единичную матрицу, используется команда следующего вида:
C=rref(A)
где: A – исходная матрица, C – эквивалентная матрица ступенчатого вида.