Тема 3. Интерполяция
Интерполяция – частный случай аппроксимации, когда аппроксимирующая кривая проходит через все точки таблицы, то есть
(3.1)
Задача интерполяции ставится так:
Функция y=f(x) задана в виде таблицы
-
x
x0
x1
…
xm
y
y0
y1
…
ym
Требуется вычислить значение функции в точке x, не совпадающей ни с одним из узлов таблицы. Если эта точка лежит между узлами, то такая задача называется интерполяцией. Если точка x лежит за пределами таблицы, то говорят о задаче экстраполяции.
Очевидно, что коэффициенты сj можно найти методом наименьших квадратов, положив n=m.
Рассмотрим другие способы решения этой задачи.
3.1 Интерполяция по Лагранжу
Построим полином
(3.2)
Выражение (3.2) – алгебраический полином степени n. Покажем, что он проходит через все точки таблицы при n=2 и n=3.
;
;
;
Выражение (3.2) – интерполяционный полином Лагранжа, проходящий через все точки таблицы. Теперь, чтобы найти значение функции в некоторой точке x* , которой нет в таблице, достаточно подставить эту точку вместо x в формулу (3.2) и считать, что
y*=Ln(x*)
(3.3) 
3.2 Интерполяция при постоянном шаге
Конечной разностью функции y=f(x) c шагом x =h называют функцию y=f(x+h)-f(x). Это первая конечная разность. Вторая конечная разность 2y=(y)=[f(x+2h)-f(x+h)]-[f(x+h)-f(x)]=f(x+2h)-2f(x+h)+f(x) и т.д.
Предположим, что функция y=f(x) задана в виде таблицы из четырех точек. Построим для нее таблицу конечных разностей:
i |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
В
этой таблице
Предположим, что шаг в этой таблице – постоянный, то есть
(3.4)
Полином, проходящий через все точки таблицы (а это будет полином степени не выше третьей):
Здесь
.
Запишем общий вид полинома n-й степени:
(
3.6 )
“I “ означает, что это первый интерполяционный полином Ньютона. Он удобен для вычислений, когда точка х=х*, в которой нужно вычислить функцию, расположена ближе к началу таблицы.
Если точка х* расположена ближе к концу таблицы, то удобнее пользоваться формулой второго интерполяционного полинома Ньютона:
(
3.7 )
Результаты применения формул (3.6) и (3.7) – одни и те же, если используются одни и те же узлы таблицы.
Покажем, как можно построить таблицу конечных разностей на Scilab.
clc
x=[0 2 4 6];y=[5 12 27 33];dy=diff(y),dy2=diff(y,2),dy3=diff(y,3)
disp('Таблица конечных разностей функции у')
dy =
7. 15. 6.
dy2 =
8. - 9.
dy3 =
- 17.
Таблица конечных разностей функции у