1.1 Теоретические положения

1.1.1 Закон Ома

Ток I и напряжение U на сопротивлении R связаны законом Ома следующим образом:

1.1.2 Законы Кирхгофа

Электрические цепи постоянного тока могут быть рассчитаны с помощью законов Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма всех токов, сходящихся в любом узле, равна нулю. Токи, направленные к узлу, условно принимаются положительными, а направленные от него – отрицательными (или наоборот).

Второй закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма ЭДС замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжений в нём. Направление обхода контура выбирается произвольно; при записи левой части равенства ЭДС, направления которых совпадают с выбранным направлением обхода, принимаются положительными, а ЭДС, направленные против выбранного обхода – отрицательными. При записи правой части со знаком "+" берутся падения напряжения в тех ветвях, в которых положительное направление тока совпадает с направлением обхода, и со знаком " – " падения напряжения в тех ветвях, в которых положительное направление тока противоположно направлению обхода. Если цепь содержит N_в – ветвей, N_у – узлов, N_т – источников тока, то:

1) устанавливается число неизвестных токов: N_в - N_т;

2) число линейно-независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, равно числу узлов без единицы: N_у - 1;

3) число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа:

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры (каждый из которых содержит по сравнению с предыдущим хотя бы одну новую ветвь), не содержащие источников тока. Так, для цепи Рисунок 1 система уравнений имеет вид:

1.1.3 Баланс мощностей

Пусть в электрической цепи имеются источники и приемники электрической энергии. Тогда условие баланса мощностей, являясь следствием закона сохране­ния энергии, формулируется следующим образом: суммарная мощность, генери­руемая источниками энергии, равна суммарной мощности, потребляемой в цепи:

Где n – число ветвей, содержащих источники ЭДС;

m – число ветвей, содержащих источники тока;

U_P – напряжение на зажимах источника тока;

q – число ветвей, содержащих сопротивления.

Мощность источника может быть положительной (если направления тока совпадает с направлением ЭДС E_k или напряжения U_P) или отрицательной (направления тока и ЭДС противоположны или U_P отрицательно). Отрицательный знак мощности означает, что соответствующий источник работает в режиме потребления энергии.

Так для цепи (рисунок 1) баланс мощностей имеет вид

1.1.4 Преобразование пассивных ветвей

Замена последовательно соединенных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления соединены последовательно, если они обтекаются одним током (рисунок 6).

Рисунок 6

Эквивалентное сопротивление цепи, состоящее из n последовательно соединенных сопротивлений, равно сумме этих сопротивлений, т.е.

Замена параллельных сопротивлений одним эквивалентным. Сопротивления параллельны, если все они присоединены к одной паре узлов (рисунок 7).

Рисунок 7

Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n параллельно соединенных сопротивлений, есть величина, обратная сумме проводимостей отдельных ветвей.

,

где – проводимость k – й ветви.

В частном случае параллельного соединения двух и трех сопротивлений (рисунок 8) соответственно эквивалентные сопротивления:

Рисунок 8

;

Замена смешанного соединения одним эквивалентным. Смешанное соединение – сочетание последовательного и параллельного соединений сопротивлений (рисунок 9):

Рисунок 9

Пример 1.

Определить эквивалентное сопротивление цепи (рисунок 10а) между точками а и b при разомкнутом и замкнутом ключе. Дано: R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = R₅ = R₆ = R₇ = 10 Ом.

Решение

Заданная цепь при разомкнутом ключе изображена на рис.10 б.

а) б)

Рисунок 10

Искомое сопротивление определяем следующим образом:

;

;

Ом;

Ом;

Ом;

Ом.

При замкнутом ключе схема имеет вид, изображенный на рисунке 11.

Рисунок 11

Сопротивление цепи равно сумме двух сопротивлений, а именно:

;

;

;

Ом, Ом, Ом.

Формулы преобразования треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и наоборот (рисунок 12)

Рисунок 12

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)