Аппроксимация степенным полиномом

Если функция i(u) непрерывна и при u = u₀ имеет производные i'(u₀), i^//(u₀) ит д., то она может быть представлена рядом Тейлоса:

i(u)=i(

а при u₀ = 0 – рядом Маклорена:

i(u)=

Такой степенной ряд при большом числе слагаемых достаточно точно аппроксимирует действительную характеристику Для упрощения часто ограничиваются степенью полинома не выше третьей.

Если к нелинейному элементу, характеристика которого аппроксимирована полиномом третьей степени, подвести синусоидальное напряжение u = U_m sin ωt, то выражение для тока будет иметь вид:

i=

Используя известные тождества

получаем:

i=

Следовательно, ток содержит постоянную составляющую и гармоники частот, кратных частоте приложенного синусоидального напряжения, причем наивысший коэффициент кратности равен степени аппроксимирующего полинома.

Постоянная составляющая тока

амплитуда первой гармоники

амплитуда второй гармоники

амплитуда третей гармоники

Приведенные выражения показывают, что постоянная составляющая и амплитуды четных гармоник тока зависят только от коэффициентов при четных степенях полинома, а амплитуды нечетных гармоник - от коэффициентов при нечетных степенях.

Аппроксимация графоаналитическим методом трех (или пяти) ординат

Допустим, что характеристика i(u) нелинейного элемента имеет вид, показанный на рисунке 5.2. Приложенное к элементу напряжение косинусоидально:

Рисунок 5.2 Метод трех ординат

Ограничиваясь тремя слагаемыми ряда Фурье в выражении для тока имеем:

Неизвестные и находятся по трем ординатам характеристики, соответствующим фазам приложенного напряжения:

ωt = 0. π/2 и π:

Решение этих уравнений дает:

Если точность аппроксимации по методу трех ординат не достаточна и требуется определить амплитуды гармоник более высокого порядка, то составляется большее число уравнений. Например, если ограничиться пятью слагаемыми ряда Фурье, то, положив ωt = 0, π, π/3, π/2, π/3 и π, получим систему из пяти уравнений с пятью неизвестными.

Кусочно-линейная аппроксимация

Метод кусочно-линейной аппроксимации заключается в замене заданной нелинейной характеристики ломаной прямой с одной или несколькими точками излома. Такая замена нелинейной характеристики позволяет вести расчет аналитически с помощью линейных уравнений. Для прямолинейных участков записываются линейные уравнения, решения которых «припасовываются»: значения электрических величин для конца участка приравниваются соответствующим значениям для начала следующего участка.

Кусочно-линейная аппроксимация используется для расчета как установившихся, так и переходных процессов.

Наиболее просто решается задача в частном случае, когда нелинейность характеристики мала или когда участок характеристики, в пределах которого работает нелинейный элемент, известен и может быть аппроксимирован прямой без излома. В этом случае нелинейный элемент заменяется источником постоянной э. д. с. и линейным сопротивлением, равным дифференциальному сопротивлению этого элемента; цепь рассчитывается как линейная.

где

В общем случае при замене нелинейной характеристики ломаной линией схема замещения нелинейного сопротивления наряду с источниками и линейными резисторами включает в себя идеальные выпрямительные диоды (один или несколько). Идеальный диод имеет сопротивление, равное нулю при положительных значениях u и i и бесконечно большое при отрицательных u и i. Его вольтамперная характеристика имеет излом в точке u = 0, i = 0 (рисунок 5.3, б).

В таблице 5.1 показаны схемы замещения, соответствующие различным типам характеристик. Рекомендуется читателям самостоятельно графическим построением характеристик последовательно или параллельно соединенных элементов убедиться в том, что характеристики и схемы, приведенные в таблице 5.1, друг другу соответствуют. При этом следует обратить внимание на то, что перемена полярности идеального диода равносильна изменению положительных направлений тока и напряжения. Поэтому соответствие схем харак­теристикам обеспечивается как надлежащим подбором элементов, так и соответствующей полярностью включения идеальных диодов и источников.

Методом кусочно-линейной аппроксимации вольтамперных характеристик нелинейных резисторов, содержащихся в заданной электрической цепи, можно получить результирующую эквивалентную схему замещения всей цепи. В зависимости от постановки задачи может потребоваться построение вольтамперной характеристики (например, зависимости выходного напряжения от входного).

Графическое построение вольтамперных характеристик при последовательном, параллельном и смешанном соединениях, описанное ранее, применимо и для схемы с одним источником переменной э. д. с. или переменного тока.

Возможен и другой способ построения результирующей характеристики, основанный на том факте, что вольтамперная (или передаточная) характеристика цепи, имеющей кусочно-линейные элементы, должна быть кусочно-линейной Координаты точек излома результирующей характери­стики находятся из условия, что в изломе характеристики каждого идеального диода, входящего в эквивалентную схему замещения, напряжение и ток равны нулю.

Рисунок 5.3 Диод (а) и характеристика идеального диода (б)

Таблица 5.1

Кусочно-линейные характеристики и схемы замещения

Построим в качестве примера вольтамперную характеристику I(u) для схемы рисунка 5.4, а.

Рисунок 5.4 Построение кусочно-линейной вольтамперной характеристики цепи: а - схема; б - характеристика

В точке излома характеристики диода 1 u₁ = 0, i = 0. При этом ввиду отсутствия тока в сопротивлении r₁ ветвь с r₁ можно мысленно разомкнуть.

Идеальный диод 2 при этом открыт: i₂ = Е/r₂. В силу того, что напряжения на диодах 1 и 2 и на сопротивлении r₁ в этом случае равны нулю, входное напряжение получается также равным нулю: u = 0. Следовательно, первый излом вольтамперной характеристики находится в точке u = 0, i = 0.

Для диода 2 i₂ = 0 при u₂ = 0. При этом через сопротивление r₂ проходит ток Е/ r₂. Поскольку ток i₂ = 0, должно соблюдаться условие

i = Е/ r₂, причем вентиль 1 должен быть открыт, т е.u₁ = 0. Тогда:

u₁ = r₁ I = E r₁/ r₂

Следовательно, второй излом вольтамперной характеристики имеет координаты u = E r₁/ r_2, i = E / r₂

Между двумя найденными изломами характеристика прямолинейна (рисунок 5.1, б). Слева от первой точки излома диод 1 закрыт и i = 0; характеристика совпадает с отрицательной полуосью напряжений. Правее второй точки излома диод 1 открыт, а диод 2 закрыт; поэтому характери­стика продолжается под углом: