Рекомендации к решению заданий

Для решения заданий 5 – 7 необходимо знать правила дифференцирования и таблицу производных основных элементарных функций.

Правила дифференцирования:

1. ;	2. ;
3. ;	4. .

Производные основных элементарных функций:

1.	;	.
2.	;	.
3.	;	.
4.	;	.
5.	;	.
6.	;	.
7.	;	.
8.	;	.
9.	;	.
10.	;	.
11.	;	.
12.	;	.
13.	;	.
14.	;	.
15.	;	.

В левом столбце приведенной выше таблицы записаны производные основных элементарных функций, в правом – производные соответствующих сложных функций.

Найдем производные заданных функций.

1. .

+ .

2. .

.

3. .

.

4. .

.

Задание 5

Задачи 81–100. Найти производные заданных функций.

81.	;	;
	;	.
82.	;	;
	;	.
83.	;	;
	;	.
84.		;
	;	.
85.	;	;
	;	.
86.	;	;
	;	.
87.		;
	;	.
88.
89.	;	;
	;	.
90.	;	;
	;	.
91.	;	;
	;	.
92.	;	;
	;	.
93.	;	;
	;	.
94.	;	;
	;	.
95.	;	;
	;	.
96.	;	;
	;	.
97.		;
	;	.
98.	;	;
	;	.
99.	;	;
	;	.
100.	;	;
	;	.

Пусть требуется провести полное исследование функции и построить ее график.

1. Область определения функции характеризуется неравенством х+40, откуда получаем х–4, т. е.

2. Исследуем функцию на непрерывность. Из пункта 1 следует, что функция не определена в точке x= –4. Значит, эта точка является точкой разрыва графика функции. Классифицируем данный разрыв. Для этого вычислим односторонние пределы функции в этой точке:

, .

Таким образом, точка является точкой разрыва второго рода, а прямая – вертикальной асимптотой графика функции.

3. Исследуем функцию на наличие наклонных асимптот:

.

.

Так как оба предела существуют и конечны, то прямая y=3x –10 является наклонной асимптотой графика функции.

4. Функция имеет общий вид, так как область ее определения не симметрична относительно начала координат.

5. Исследуем функцию на экстремум. Для этого найдем критические точки – это точки, в которых первая производная функции обращается в ноль или не существует. Первая производная функции будет равна:

Приравняем ее к нулю: . Решим полученное уравнение. Данное уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю: . В результате получаем критические точки .

Разобьем область определения критическими точками на интервалы и определим знаки первой производной на каждом интервале:

x	(-; –8)	–8	(–8; –4)	–4	(–4; 0)	0	(0; +)
y	+	0	–	Не сущ.	–	0	+
y		max – 46		Не сущ.		min 2

y_max=y(–8)= – 46; y_min=y(0)=2.

6. Исследуем функцию на перегиб. Для этого найдем точки подозрительные на перегиб:

=

.

Т ак как вторая производная функции никогда в ноль не обращается, то график заданной функции точек перегиба не имеет.

Покажем интервалы выпуклости вверх и вниз для данной функции. Для этого рассмотрим интервалы области определения функции и определим знак ее второй производной на этих интервалах.

х	(–; –4)	–4	(–4; +)
y	–	Не сущ.	+
y		Не сущ.	

Анализ показывает, что на интервале (–; –4) график функции является выпуклым вверх, а на интервале (–4; +) – выпуклым вниз.

7. По результатам исследования стро­им график функции (рис. 2).