4.Угловые характеристики движения и их связь с линейными.

Угловая скорость и угловое ускорение

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдельные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R (рис. 1.4).

 

Ее положение через промежуток времени t зададим углом .

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

 

Размерность угловой скорости - радиан в секунду (рад/с).

Линейная скорость точки

v = R·

 

Если  = const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т - временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на угол 2.

Т  = 2/.

 

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения.

n = 1/T =  /2.

 

Таким образом,   = 2 n.

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

 

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости.

Тангенциальная составляющая ускорения

aτ = dv/dt = d(R)/dt =R d/dt = Rε

 

Нормальная составляющая ускорения

.

 

Таким образом, связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение аτнормальное ускорение аn) и угловыми величинами (угол поворота , угловая скорость , угловое ускорение ε) выражается следующими формулами:

 

В случае равнопеременного движения точки по окружности (ε =const)

 

где o — начальная угловая скорость.

5.Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета.

Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

2.1. Первый закон Ньютона. Масса. Сила

Динамика является основным разделом механики, в ее основе лежат три закона Ньютона, сформулированные им в 1687 г. Законы Ньютона играют исключительную роль в механике и являются (как и все физические законы) обобщением результатов огромного человеческого опыта. Их рассматривают как систему взаимосвязанных законов и опытной проверке подвергают не каждый отдельный закон, а всю систему в целом.

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции.

Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета. Инерциальной системой отсчета является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.

Инерциальные системы отсчёта.

Первый закон Ньютона (закон инерции). Всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока внешнее воздействие не изменит это состояние.

Системы отсчёта, в которых выполняется первый закон Ньютона называют инерциальными.

К таким системам относится, например, гелиоцентрическая система отсчёта, в которой за начало координат принимают солнце, а оси проводят в направлении звёзд, которые считаются неподвижными.

Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называются неинерциальными.

Понятие силы и инертной массы.

Сила – векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел.

Инертность – свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Физическая величина, являющаяся мерой инертности тела при поступательном движении, называется массой. Масса тела равна сумме масс всех частиц (или материальных точек), из которых оно состоит.

Импульсом тела называют произведение массы тела на скорость его движения: p=mV.

Так как a=dV/dt, то формулу a=F/m можно записать в виде F=m(dV/dt)=(d/dt)mV=dp/dt.

Единица силы – ньютон(Н).

Ньютон – сила, которая телу массой 1 кг сообщает ускорение 1 м/с2 в направлении действия силы.

6.Второй закон Ньютона. Масса. Импульс. Уравнение движения материальной точки.

Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всегда прямо пропорционально равнодействующей приложенных сил:

а ~ F   (т = const).                                              (2.1) 

При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорения оказываются различными, а именно

а ~ 1/т   (F = const).                                            (2.2)

 

Используя выражения (2.1) и (2.2) и учитывая, что сила и ускорение - величины векторные, можем записать

а = k·F/m.                                                    (2.3)

 

Соотношение (2.3) выражает второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела). В СИ коэффициент пропорциональности k=1.

Тогда

а = F/m,

или

F = mа = m·dv/dt.                                          (2.4)

 

Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике есть величина постоянная, в выражении (2.4) ее можно внести под знак производной:

F = d(mv)/dt.                                                 (2.5)

 

Векторная величина

р = mv,                                                         (2.6)

 

численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, называется импульсом (количеством движения) этой материальной точки.

Подставляя (2.6) в (2.5), получим

F = dp/dt.                                                       (2.7)

 

Это выражение - более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Выражение (2.7) называется уравнением движения материальной точки.

Единица силы в СИ - ньютон (Н): 1 Н - сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с2 в направлении действия силы:

1 Н = 1 кг·м/с2.

 

Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета. Первый закон Ньютона можно получить из второго. Действительно, в случае равенства нулю равнодействующей сил (при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел) ускорение также равно нулю. Однако первый закон Ньютона рассматривается как самостоятельный закон (а не как следствие второго закона), так как именно он утверждает существование инерциальных систем отсчета, в которых только и выполняется уравнение (2.7).

В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил: если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач.

Например, на рис. 2.1 действующая сила F = ma разложена на два компонента: тангенциальную силу Fτ, (направлена по касательной к траектории) и нормальную силу Fn, (направлена по нормали к центру кривизны). Используя выражения аτ= dv/dt  и an = v2/R , а также v = R, можно записать:

Fτ = таτ = т dv/dt;

Fn = т·аn = mv2/R = m2R.

 

Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действия сил, под F во втором законе Ньютона понимают результирующую силу.

6.2. Масса и импульс.

1) И́мпульс (Количество движения) — векторная физическая величина, характеризующая меру механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этой точки на её скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

.

В более общем виде, справедливом также и в релятивистской механике, определение имеет вид:

Импульс — это аддитивный интеграл движения механической системы, связанный согласно теореме Нётер с фундаментальной симметрией — однородностью пространства.

2) Ма́сса (от греч. μάζα) — одна из важнейших физических величин. Первоначально (XVII—XIX века) она характеризовала «количество вещества» в физическом объекте, от которого, по представлениям того времени, зависели как способность объекта сопротивляться приложенной силе (инертность), так и гравитационные свойства — вес. Тесно связана с понятиями «энергия» и «импульс» (по современным представлениям — масса эквивалентна энергии покоя).

В современной физике понятие «количество вещества» имеет другой смысл, а концепцию «масса» можно трактовать несколькими способами:

Пассивная гравитационная масса показывает, с какой силой тело взаимодействует с внешними гравитационными полями — фактически эта масса положена в основу измерения массы взвешиванием в современной метрологии.

Активная гравитационная масса показывает, какое гравитационное поле создаёт само это тело — гравитационные массы фигурируют в законе всемирного тяготения.

Инертная масса характеризует меру инертности тел и фигурирует в одной из формулировок второго закона Ньютона. Если произвольная сила в инерциальной системе отсчёта одинаково ускоряет разные исходно неподвижные тела, этим телам приписывают одинаковую инертную массу.

Уравнение движения материальной точки.

Сила – производная импульса по времени. F=dp/dt.

Более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Это выражение называется уравнением движения материальной точки.

8. Взаимодействия и силы.

В механике большое значение имеет принцип независимости действия сил:если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Согласно этому принципу, силы и ускорения можно разлагать на составляющие, использование которых приводит к существенному упрощению решения задач.

Если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действия сил, под силой во втором законе Ньютона понимают результирующую силу.

Виды сил:

Гравитационные силы, электромагнитные силы, силы инерции, ядерные силы, силы межмолекулярного взаимодействия.

9. Силы инерции. Принцип эквивалентности.

В неинерциальных системах отсчёта законы неинерциальных системах отсчёта законы Ньютона не выполняются. Основной закон динамики материальной точки в неинерциальных системах отсчёта можно получить исходя из второго закона Ньютона и связи между абсолютным и относительным ускорениями материальной точки. Следовательно,основное уравнение динамикиотносительного движения материальной точкиимеет вид

mar=F-mae-maK. Его можно привести к видуmar=F+Ie+IK. Векторные величиныIe=-maeи

IK=-maKимеют размерность силы и называются соответственнопереносной силой инерции и кориолисовой силой инерции Ie=-(mdυ0)/dt-m[dΩr/dt]-m[Ω[Ωr]].

Последний член правой части этого выражения называется центробежной силой инерции. Модуль центробежной силыIцб=mΩ2ρ, где ρ – расстояние от материальной точки массыmдо мгновенной оси вращения системы отсчёта иΩ– вектор направления мгновенной оси вращения неинерциальной системы отсчёта.

Кориолисова сила инерции: IK=2m[υrΩ].

Силы инерции реально действуют на материальную точку в неинерциальной системе отсчёта и могут быть в ней измерены.

Принцип эквивалентности– гравитационное поле в ограниченной области пространства физически эквивалентно «полю сил инерции» в соответствующим образом выбранной неинерциальной системы отсчёты