Правило перевода целого числа из одной системы счисления в любую другую
Целое число с основанием q переводится в систему счисления с основанием p путем последовательного деления числа А на основание p, записанного в виде числа с основанием q, до получения остатка. Полученное частное необходимо снова делить на основание p. Процесс повторяется до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Полученные остатки от деления и последнее частное записываются в порядке, обратном полученному при делении. Полученное число и будет являться числом с основанием p.
Пример: Представить число А10 = 37 в двоичной и шестнадцатеричной системе счисления.
-
37
2
37
16
А10 =37
А2 = 100101
36
18
2
32
2
1
18
9
2
5
0
8
4
2
1
4
2
2
0
2
1
А10 =37
А16 = 25
0
Правило перевода дробного числа из одной системы счисления в любую другую
Дробное число с основанием q переводится в систему счисления с основание p путем последовательного умножения числа А на основание p, записанное в виде числа с основанием q. При каждом умножении целая часть произведения берется в виде очередной цифры соответствующего разряда, а оставшаяся дробная часть принимается за новое множимое. Число умножений определяет разрядность полученного результата, представляющего число А в системе счисления с основанием p.
Пример: Представить число А10 = 0,625 в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системе счисления.
-
0,625
0,625
0,625
2
8
16
1 250
5 000
10 000
2
0 500
2
1 000
А2 = 0,101
А8 = 0,5
А16 = 0,А
Для перевода восьмеричного или шестнадцатеричного числа в двоичную форму достаточно заменить каждую цифру этого числа соответствующим трехразрядным двоичным числом (триадой) или четырехразрядным двоичным числом (тетрадой), при этом отбрасывают ненужные нули в старших и младших разрядах.
Пример: 421,158 = 100 010 001,001 1012;
2А,F16 = 10 1010,11112.
Для перехода от двоичной к восьмеричной или шестнадцатеричной системе поступают следующим образом: двигаясь от точки влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и правую группы. Затем триаду (тетраду) заменяют соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой.
Пример:
Перевести 11010101,11012 в восьмеричную систему счисления
= 325,648;
Пример:
Перевести 1110110100,010112 в шестнадцатеричную систему счисления
= 3В4,5816.
Перевод из восьмеричной в шестнадцатеричную систему и обратно осуществляется через двоичную систему с помощью триад и тетрад.
Пример:
Перевести 247,238 в шестнадцатеричную систему счисления
247,238 = 10 100 111,010 0112 = 1010 0111,0100 11002 = А7,4С16
Арифметические операции в различных системах счисления выполняются по тем же правилам, что и в десятичной системе счисления.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример: Сложить два числа в двоичной системе счисления 11012 и 10012. Для сложения чисел в двоичной системе счисления необходимо запомнить несколько правил:
0+0=0;
0+1=1+0=1;
1+1=10;
1+1+1=11.
Запишем слагаемые в столбик и укажем номера разрядов, начиная с 0.
|
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
+ |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Пример: Сложить два числа в двоичной системе счисления 11012 и 10112.
|
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
+ |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
Пример: Вычесть из числа 11012 число 10112 в двоичной системе счисления.
|
3 |
2 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
– |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
Рассмотрим данный пример по действиям в каждом разряде.
0 разряд. 1–1=0.
1 разряд. 0–1=1. В данном случае, как и в десятичной системе счисления, занимается разряд. Но не забываем, что в двоичной системе счисления разряд составляет две единицы.
2 разряд. 0–0=0.
3 разряд. 1–1=0.
Пример: Сложить два числа в восьмеричной системе счисления 328 и 178. Разряд в восьмеричной системе счисления составляет восемь единиц. Таким образом, 2+7=11.
|
1 |
0 |
|
3 |
2 |
+ |
1 |
7 |
|
5 |
1 |
Пример: Вычесть из числа 218 число 158 в восьмеричной системе счисления.
|
1 |
0 |
|
2 |
1 |
– |
1 |
5 |
|
0 |
4 |
Пример: Сложить два числа в шестнадцатеричной системе счисления 9116 и 2516.
|
1 |
0 |
|
9 |
1 |
+ |
2 |
5 |
|
B |
6 |
Пример: Вычесть из числа C516 число A816 в шестнадцатеричной системе счисления.
|
1 |
0 |
|
C |
5 |
+ |
A |
8 |
|
1 |
D |