Решение
Путь L равен половине длины окружности: L=πR. Модуль перемещения равен диаметру окружности: S=2R.
Скорость V→ − векторная величина, характеризующая направление и быстроту перемещения материальной точки:
.V→=ΔS→Δt.
В проекции на ось x:
.Vx=ΔxΔt.
В СИ единица измерения скорости − метр/секунду: мc[V]=м/c.
На практике зачастую используются внесистемные единицы измерения скорости. Например, кмчкм/ч.
Следует знать, что в мс1 м/с содержится кмч3,6 км/ч.
Скорость может изменяться во времени.
Мгновенная скорость − скорость в данный момент времени в данной точке траектории. В любой точке криволинейной траектории она направлена по касательной к траектории в этой точке.
Обычно под скоростью понимают именно мгновенную скорость, т. е. скорость в определенный момент времени.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Ускорение a→ − векторная величина, характеризующая направление и быстроту изменения мгновенной скорости:
.a→=ΔV→Δt.
В проекции на ось x:
.ax=ΔVxΔt.
В СИ единица измерения ускорения: мc[a]=м/c2.
Ускорение может изменяться во времени.
3 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Прямолинейное равноускоренное движение – движение по прямой, при котором за любые равные промежутки времени вектор скорости точки изменяется на равную величину.
Величины, описывающие это движение: ускорение a→, скорость V→, перемещение S→, координата x, время t.
Уравнение ускорения: a→=const→, в проекции на ось x: ax=const.
При таком движении ускорение a→ точки не изменяется.
Уравнение скорости: V→=V0→+a→t, в проекции на ось x: Vx=V0x+axt.
При таком движении скорость V→ точки изменяется линейно со временем.
Уравнение перемещения: S→=V0→t+a→t22, в проекции на ось x: Sx=V0xt+axt22.
При таком движении перемещение S→ точки изменяется квадратично со временем.
Координатное уравнение: x=x0+V0xt+axt22.
Для координат вдоль других осей формула выглядит аналогично.
Из написанных выше соотношений можно получить еще несколько очень полезных формул: Sx=V0x+Vx2t, ну и, конечно, Sx=Vx2−V0x22ax.
Часто для решения задач векторные уравнения удобно представлять в виде векторных треугольников.
В этом случае решение системы уравнений можно заменить геометрическим решением, которое в ряде случаев гораздо компактнее.
4.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Свободное падение − распространенный частный случай равноускоренного движения, при котором тело движется только под действием силы тяжести.
Обычно так происходит, если пренебречь силами сопротивления. При этом ускорение тела будет постоянным как по направлению, так и по величине: a→=g→ (в случае полетов на небольших высотах и на небольшие расстояния). Его называют ускорением свободного падения. Оно направлено перпендикулярно поверхности (к центру Земли).
Для большинства школьных задач мcg=10 м/c2. Более точное значение мcg=9,8 м/c2. Обычно в условии задачи оговаривается, какое значение g подставлять. На практике g зависит от географической широты местности, плотности земных пород, высоты над поверхностью Земли.
Уравнение скорости: V→=V0→+g→t, в проекции на ось x: Vx=V0x+gxt.
Уравнение перемещения: S→=V0→t+g→t22, в проекции на ось x: Sx=V0xt+gxt22.
Координатное уравнение: x=x0+V0xt+gxt22.
Для координат вдоль других осей формула выглядит аналогично.
Полезные формулы: Sx=V0x+Vx2t, ну и, конечно, Sx=Vx2−V0x22gx.
В случае если начальная скорость отсутствует или направлена вдоль вертикальной прямой, траектория движения прямая. Если есть угол между начальной скоростью и ускорением свободного падения, то траектория − парабола.
Ускоре́ние свобо́дного паде́ния (ускорение силы тяжести) — ускорение, придаваемое телу силой тяжести, при исключении из рассмотрения других сил. В соответствии с уравнением движения тел в неинерциальных системах отсчёта[2] ускорение свободного падения численно равно силе тяжести, воздействующей на объект единичной массы.
Ускорение свободного падения на поверхности Земли g (обычно произносится как «Же») варьируется от 9,780 м/с² на экваторедо 9,832 м/с² на полюсах[3]. Стандартное («нормальное») значение, принятое при построении систем единиц, составляет g = 9,80665 м/с²[4][5]. Стандартное значение g было определено как «среднее» в каком-то смысле на всей Земле, оно примерно равно ускорению свободного падения на широте 45,5° на уровне моря. В приблизительных расчётах его обычно принимают равным 9,81, 9,8 или 10 м/с².
5.
Движение точки по окружности является частным случаем криволинейного движения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Равномерное движение по окружности − движение по окружности с неизменной по модулю скоростью:
const.|V→|=const.
Скорость точки V→ направлена по касательной к окружности в каждый момент времени. Ее называют линейной скоростью. При таком движении скорость точки V→ меняется по направлению, а по модулю остается неизменной.
Равномерное движение точки по окружности является движением с ускорением a→.
Ускорение a→ всегда направлено к центру окружности и называется центростремительным, или нормальным. Часто его будут обозначать a→n.
Модуль центростремительного ускорения определяется формулой
,an=V2R,
где V − линейная скорость, R − радиус окружности.
Положение тела при движении по окружности удобнее описывать не в декартовых координатах, а с помощью радиуса и угла поворота φ относительно некоторого начального положения. Чтобы охарактеризовать быстроту изменения угла поворота φ, вводится угловая скорость.
О
ПРЕДЕЛЕНИЕ
Угловая скорость ω − скалярная величина, показывающая, на сколько изменяется угол поворота Δφ за время Δt:
.ω=ΔφΔt.
В СИ угловая скорость измеряется в радианах в секунду: радc[ω]=рад/c.
Если T − период обращения, ν − частота обращения, то угловая скорость выражается по формулам:
.ω=2πT=2πν.
При движении по окружности угловая и линейная скорости связаны соотношением V=ωR.
Модуль центростремительного ускорения можно также определить по формуле an=ω2R.
6.
ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА (ЗАКОН ИНЕРЦИИ)
Существуют системы отсчета, называемые инерциальными (далее − ИСО), в которых любое тело находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно, если на него не действуют другие тела или действие этих тел скомпенсировано. В таких системах тело будет сохранять первоначальное состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действие других тел не заставит его изменить это состояние.
ИСО − особый класс систем отсчета, в которых ускорения тел обусловлены только реальными силами, действующими на тела, а не свойствами систем отсчета. Как следствие, если на тело не действуют никакие силы или их действие скомпенсировано R→=F1→+F2→+F3→+…=0→, то тело либо не изменяет свою скорость V→=const→ и движется равномерно прямолинейно либо покоится V→=0→.
Инерциальных систем существует бесконечное множество. Система отсчета, связанная с поездом, идущим с постоянной скоростью по прямолинейному участку пути, – тоже инерциальная система (приближенно), как и система, связанная с Землей. Все ИСО образуют класс систем, которые движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Ускорения какого-либо тела в разных ИСО одинаковы.
7.
ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА (ЗАКОН ИНЕРЦИИ)
Существуют системы отсчета, называемые инерциальными (далее − ИСО), в которых любое тело находится в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно, если на него не действуют другие тела или действие этих тел скомпенсировано. В таких системах тело будет сохранять первоначальное состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действие других тел не заставит его изменить это состояние.
ИСО − особый класс систем отсчета, в которых ускорения тел обусловлены только реальными силами, действующими на тела, а не свойствами систем отсчета. Как следствие, если на тело не действуют никакие силы или их действие скомпенсировано R→=F1→+F2→+F3→+…=0→, то тело либо не изменяет свою скорость V→=const→ и движется равномерно прямолинейно либо покоится V→=0→.
Инерциальных систем существует бесконечное множество. Система отсчета, связанная с поездом, идущим с постоянной скоростью по прямолинейному участку пути, – тоже инерциальная система (приближенно), как и система, связанная с Землей. Все ИСО образуют класс систем, которые движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Ускорения какого-либо тела в разных ИСО одинаковы.
Для невесомого тела (массой которого мы пренебрегаем на фоне соседних тел в системе) уравнение второго закона вырождается R→=0⋅a→ и, по сути, превращается в R→=0→, при этом ускорение невесомого тела можно найти лишь из кинематических связей.
8.
ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА
Тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению.
Силы, возникающие при взаимодействии тел, всегда имеют одинаковую природу. Они приложены к разным телам и поэтому не могут уравновешивать друг друга. Складывать по правилам векторного сложения можно только силы, приложенные к одному телу. Закон утверждает, что силы возникают лишь попарно, причем любая сила, действующая на тело, имеет источник происхождения в виде другого тела. Иначе говоря, сила всегда есть результат взаимодействия тел. Существование сил, возникших самостоятельно, без взаимодействующих тел, невозможно.
Рисунок иллюстрирует третий закон Ньютона. Человек действует на груз с такой же по модулю силой, с какой груз действует на человека. Эти силы направлены в противоположные стороны. Они имеют одну и ту же физическую природу – это упругие силы каната. Сообщаемые обоим телам ускорения обратно пропорциональны массам тел.
9.
Одним из проявлений силы всемирного тяготения является сила тяжести. Так принято называть силу притяжения тел к Земле вблизи ее поверхности. Если M — масса Земли, зRз — ее радиус, m — масса данного тела, то сила тяжести:
зF=G⋅MRз2⋅m=m⋅g.
Коэффициент g — ускорение свободного падения у поверхности Земли:
зg=G⋅MRз2.
Сила тяжести направлена к центру Земли. В отсутствие других сил тело свободно падает на Землю с ускорением свободного падения. Среднее значение ускорения свободного падения для различных точек поверхности Земли равно мc9,81 м/c2, однако при решении задач это значение чаще всего округляется до мc10 м/c2.
Зная ускорение свободного падения и радиус Земли з м(Rз=6,38⋅106 м), можно вычислить массу Земли M:
з кгM=g⋅Rз2G=5,98⋅1024 кг.
При удалении от поверхности Земли сила земного тяготения и ускорение свободного падения изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния r до центра Земли.
10.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Вес − это сила, с которой любое тело вследствие притяжения Земли действует на опору или подвес.
Вес тела − векторная физическая величина, которую обозначают буквой P. Вес покоящегося, а также равномерно и прямолинейно движущегося (относительно Земли) тела по своему численному значению равен действующей на него силе тяжести:
тP=Fт=mg,
где m − масса, g − ускорение свободного падения.
Вес и сила тяжести приложены к разным объектам: вес P→ приложен к опоре или подвесу, а сила тяжести тFт→ − к телу.
Вес и сила тяжести имеют различную физическую природу. Сила тяжести возникает вследствие взаимодействия тела и Земли. Вес тела возникает в результате взаимодействия тела и опоры (подвеса). Опора (подвес) при этом деформируется, что приводит к появлению силы упругости. Из третьего закона Ньютона следует, что вес тела, то есть сила, с которой тело давит на опору (или растягивает подвес), совпадает по величине с силой, действующей со стороны опоры на данное тело. Сила, с которой опора давит на находящееся на ней тело, называется силой реакции опоры. Обозначив силу реакции опоры N→, мы можем записать:
.N→=−P→.
Полученная формула является более общей, чем P=mg, так как она справедлива и в том случае, когда тело вместе с опорой совершает ускоренное движение.
Вес тела не следует путать с его массой. Масса тела является скалярной величиной и измеряется в килограммах, а вес тела, как и
любая другая сила, − векторная величина и измеряется в Ньютонах.
Поскольку вес тела пропорционален ускорению свободного падения, которое различно на различных широтах, то вес тела зависит от географической широты и высоты местности (на полюсах вес несколько больше, чем на экваторе).
Вес можно измерять с помощью пружинных весов − динамометра.
11. Трение − один из видов взаимодействия тел. Оно возникает при соприкосновении двух тел. Трение, как и все другие виды взаимодействия, подчиняется третьему закону Ньютона: если на одно из тел действует сила трения, то такая же по модулю, но направленная в противоположную сторону сила действует и на второе тело. Силы трения, как и упругие силы, имеют электромагнитную природу. Они возникают вследствие взаимодействия между атомами и молекулами соприкасающихся тел или наличия неровностей и шероховатостей.
Силами сухого трения называют силы, возникающие при соприкосновении двух твердых тел при отсутствии между ними жидкой или газообразной прослойки. Они всегда направлены по касательной к соприкасающимся поверхностям.
Сухое трение, возникающее при относительном покое тел, называют трением покоя. Сила трения покоя всегда равна по величине внешней силе и направлена в противоположную сторону.
Сила трения покоя не может превышать некоторого максимального значения тр(Fтр)max. Если внешняя сила больше тр(Fтр)max, возникает относительное проскальзывание. Силу трения в этом случае называют силой трения скольжения. Она всегда направлена в сторону, противоположную направлению движения и, вообще говоря, зависит от относительной скорости тел. Однако во многих случаях приближенно силу трения скольжения можно считать независящей от величины относительной скорости тел и равной максимальной силе трения покоя. Эта модель силы сухого трения применяется при решении многих простых физических задач.
Опыт показывает, что сила трения скольжения пропорциональна силе нормального давления тела на опору, а следовательно, и силе реакции опоры N→.
тртр.Fтр=(Fтр)max=μ⋅N.
Коэффициент пропорциональности μ называют коэффициентом трения скольжения.
Коэффициент трения μ − величина безразмерная. Обычно коэффициент трения меньше единицы. Он зависит от материалов соприкасающихся тел и от качества обработки поверхностей. При скольжении сила трения направлена по касательной к соприкасающимся поверхностям в сторону, противоположную относительной скорости.
Характерные значения коэффициентов трения для некоторых эталонных поверхностей приведены в таблице.
На практике из-за различной степени обработки, особенностей структуры поверхности и загрязненности реальные значения, как правило, отличаются от табличных на 10–30% и определяются экспериментально.
Видно, что обычно μ редко выходит за границы диапазона 0,2–0,8. Но в этом стереотипе кроется ловушка. Теория не запрещает коэффициенту трения быть больше 1 (тело легче поднять, чем тянуть). Такое бывает, например, на липких и шершавых поверхностях (лейкопластырь, скотч, наждачная бумага, некоторые сорта резины). Конечно, тут можно спорить: будет ли это сухое трение? Но на олимпиадах разного уровня обычно в детали не вдаются и, предлагая подобные задачи, подчас здорово сбивают с толку любителей подгонять результаты в «разумные» рамки.
Заметим, что в случае твердых тел сила трения практически не зависит от площади соприкасающихся поверхностей. На мягких и рыхлых поверхностях все сложнее, так как из-за продавливания меньшая по площади опора глубже зарывается, но это уже несколько другой механизм трения.
12.
Закон Гука − основной закон теории упругости. Он был открыт английским ученым Робертом Гуком в 1660 году, когда ему было 25 лет. Закон Гука гласит:
Сила упругости, возникающая при упругой деформации растяжения или сжатия тела, пропорциональна абсолютному значению изменения длины тела.
Если удлинение тела обозначить через x, а силу упругости через упрFупр, то закон Гука можно записать в виде следующей математической формулы:
упрFупр=−k⋅x,
где k — коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью тела. Знак минус перед правой частью уравнения указывает на
противоположные направления силы упругости и удлинения x. Единицей жесткости в СИ является ньютон на метр (1 Н/м).
У каждого тела своя жесткость. Чем больше жесткость тела (пружины, проволоки, стержня и т. д.), тем меньше оно изменяет свою длину под действием данной силы.
Следует помнить, что закон Гука справедлив только для упругой деформации. Закон Гука хорошо выполняется только при малых деформациях. При больших деформациях изменение длины перестает быть прямо пропорциональным приложенной силе, а при очень больших деформациях тело разрушается.
13/