Переезд за границу
Софья Васильевна стремилась к получению высшего образования в полном объеме. Двери высших учебных заведений в России для женщин в то время были закрыты. Остался лишь путь, к которому прибегали многие девушки того времени, искать возможности получения высшего образования за границей. На поездку за границу нужно было разрешение отца, который о такой поездке дочери и слышать не хотел. Тогда Софья Васильевна, которой исполнилось уже восемнадцать лет, выходит фиктивно замуж за Владимира Онуфриевича Ковалевского, знаменитого впоследствии естествоиспытателя, и в качестве его «жены» уезжает вместе с сестрой в Германию, где ей удаётся, не без трудностей, поступить в Гейдельбергский университет, где изучала математику и посещала лекции немецких ученых Кирхгофа, Гельмгольца и Дюбуа-Реймона. Профессора университета, среди которых были знаменитые ученые, были в восторге от способностей своей ученицы. Она стала достопримечательностью маленького городка. Встречая ее на улицах матери указывали на нее своим детям, как на удивительную русскую девушку, которая в университете изучает математику.
В 1870 году переехала в Берлин, где четыре года работала у великого математика Вейерштрасса, согласившегося давать ей частные уроки (в Берлинский университет женщины тоже не допускались). В течение трех лет Софья Васильевна при очень усиленных занятиях прошла курс университета по математике, физике, химии и физиологии. Ей хотелось усовершенствоваться в области математики у крупнейшего в то время в Европе математика Карла Вейерштрасса в Берлине. В июле 1874 года Гельтингенский университет заочно, без формальной защиты, на основании трех математических работ Ковалевской, представленных Вейерштрассом, присудил ей степень доктора философии по математике и магистра изящных искусств «с самой высшей похвалой» за защиту диссертации «Zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen» (рус. «К теории дифференциальных уравнений»). Трех отличных работ хватило, чтобы Гельтингенский университет простил, по словам Вейерштрасса, «принадлежность Сони к слабому полу».
Так как в Берлинский университет женщин не принимали, то Вейерштрасс, восхищенный исключительными способностями Софьи Васильевны, в течение четырех лет занимался с нею, повторяя ей лекции, которые читал в университете. В своем представлении Вейерштрасс указывал, что он не знает среди своих многочисленных учеников, съезжавшихся к нему из всех стран, никого, которого он «мог бы поставить выше госпожи Ковалевской». С дипломом «доктора философии с высшей похвалой» двадцатичетырехлетняя Софья Васильевна с мужем вернулась в Россию. Окрыленная успехом, «аттестованная» Ковалевская устремилась на родину, чтобы преподавать математику в Петербургском университете. Однако не смогла не то что получить место в университете, но даже не была привлечена к преподаванию на открывшихся к этому времени Высших женских курсах, после чего почти на 6 лет отошла от научной работы, принимая самое деятельное участие в политической и культурной жизни родины. В 1879 году, по предложению математика П.Л. Чебышева, на VI съезде русских естествоиспытателей и врачей Ковалевская прочитала доклад об абелевых интегралах. Весной 1880 года в поисках работы она переехала в Москву, но в Московском университете ей тоже не разрешили сдать магистерские экзамены. Безрезультатной оказалась также попытка профессора Гельсингфорского университета Миттаг-Леффлера устроить Софью Васильевну преподавателем этого университета.
Попытки Ковалевской получить место профессора на Высших женских курсах во Франции тоже не имели успеха. В 1881 году в Стокгольме был открыт новый университет, кафедра математики которого была предоставлена профессору Миттаг-Леффлеру. После весьма сложных усилий ему удалось склонить либеральные круги Стокгольма к решению пригласить Софью Васильевну на должность доцента в новый университет. В 1883 году она снова вернулась в Россию. На VII съезде русских естествоиспытателей и врачей в 1883 году Ковалевская доложила работу «О преломлении света в кристаллах», которая была встречена «на ура», но предложений о работе снова не последовало... Софья Ковалевская получила приглашение занять должность приват-доцента в Стокгольмском университете и в ноябре 1883 года выехала в Швецию. Чуть позднее, летом 1884 года, она была назначена профессором Стокгольмского университета и в течение восьми лет прочла двенадцать курсов лекций, в том числе и курс механики.
Огромную помощь Софье Ковалевской в этом деле оказал ее давний друг, тоже ученик Карла Вейерштрасса, шведский математик Миттаг-Леффлер. Демократическая газета встретила приезд ее словами: «Сегодня мы сообщаем о приезде не какого-нибудь пошлого принца... Принцесса науки, госпожа Ковалевская, почтила наш город своим посещением и будет первым доцентом женщиной во всей Швеции».
Консервативные слои ученых и населения встретили Софью Васильевну враждебно, а писатель Стриндберг доказывал, что женский профессор математики есть явление чудовищное, вредное и неудобное. Однако талант ученого и талант педагога, которыми обладала Софья Васильевна, заставили умолкнуть всех противников. Софья познакомилась с гельсингфорским профессором еще в 1876 году. И с первой минуты их знакомства он, большой сторонник женского образования, страстно желал открыть ей возможность преподавать в университете. Он сразу же попытался добиться для нее доцентуры в Гельсингфорском университете, но безуспешно. Через год она была избрана штатным профессором, и ей было поручено кроме математики и временное чтение лекций по механике.
На 1888 год Парижская Академия наук объявила для получения одной из самых больших своих премий тему: «Задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки». Эта задача была решена до конца лишь в двух частных случаях. Решения эти принадлежали величайшим математикам своего времени: петербургскому академику Л. Эйлеру (1707-1783) и французскому математику Ж Лагранжу (1736-1813). Требовалось «усовершенствовать задачу в каком-нибудь существенном пункте». На конкурс среди 15 работ поступила и работа под девизом: «Говори, что знаешь, делай, что должен, да будет, что будет». Эта работа была настолько выше всех остальных, что академическая комиссия, состоявшая из крупнейших математиков Франции, присудила автору увеличенную с 3000 до 5 000 франков премию. Автором ее оказалась Софья Васильевна Ковалевская. Она же, как отмечает французский журнал того времени, пришедшая для получения премии, была первой женщиной, переступившей порог Академии.
Понятна радость Софьи Васильевны, которая по этому поводу писала: «Задача, которая ускользала от величайших математиков, задача, которую назвали математическою русалкою, оказалась схваченной... кем? Соней Ковалевской!"
Предпринятая друзьями Софьи Васильевны попытка «возвратить С. В. Ковалевскую России и русской науке» кончилась лицемерною отпискою царской Академии наук о том, что «в России госпожа Ковалевская не может получить положения столь почетного и хорошо оплачиваемого, как то, которое она занимает в Стокгольме». Лишь в конце 1889 года академикам -математикам удалось добиться избрания Софьи Васильевны членом-корреспондентом Петербургской Академии, причем предварительно Академии пришлось решить принципиальный вопрос о «допущении лиц женского пола к избранию в члены-корреспонденты». Так как это почетное звание не давало никаких материальных средств, то возвращение Ковалевской на родину осталось по-прежнему невозможным».
В 1891 году на пути из Берлина в Стокгольм Софья узнала, что в Дании началась эпидемия оспы. Испугавшись, она решила изменить маршрут. Но кроме открытого экипажа для продолжения путешествия не оказалось ничего, и ей пришлось пересесть в него. По дороге Ковалевская простудилась. Простуда перешла в воспаление лёгких.
Софья Ковалевская скончалась в возрасте 41 года 29 января 1891 года в Стокгольме «от плеврита и паралича сердца». Похоронена в Стокгольме на Северном кладбище.