Использование преобразование Лапласа для исследования динамических систем
В второй половине XIX века английский ученый О. Хевисайд предложил использовать символическое исчисление, в основе которого лежит построение математического анализа как системы формальных операций над символом p = d/dt, где t - независимая переменная. Символическое исчисление оказалось довольно удобным для решения различных прикладных задач, связанных с линейными дифференциальными уравнениями.
Строгое обоснование символического операционного исчисления получило в операционном методе, основанном на преобразовании Лапласа.
Изображением по Лапласу комплексно-значной функции f (t) называют функцию комплексного переменного p = s +iσ, определяемую как
Для
преобразования (1) используют символическую
запись
f (t) = F (p) или F (p) = f (t) .
При этом f (t) называют функцией-оригиналом или просто оригиналом, а F(p) называют изображением.
Предполагается, что оригинал удовлетворяет следующим трем условиям:
f (t)=0 для t < 0;
f (t) удовлетворяет условию Липшица-Гельдера всюду на оси t > 0 за исключением отдельных точек, где оригинал может иметь разрывы первого рода (при этом считается, что на любом конечном интервале таких точек конечное число);
f (t) возрастает не быстрее показательной функции.
С физической точки зрения первое условие оправдано тем, что в роли параметра t обычно выступает время. Дифференциальные же уравнения, описывающие разнообразные физические процессы, решают с заданными начальными условиями. Поэтому можно полагать, что история процесса до момента начала наблюдения определена в начальных условиях. Любая непрерывно-дифференцируемая функция удовлетворяет условию Липшица- Гельдера (2) с α = 1, а условие (3) для физических процессов всегда справедливо.
Основные свойства преобразования Лапласа:
Линейность: αf (t) + βg (t) = αF (p) + βG (p)
Подобие:
Запаздывание
f (t − τ ) = e−pτ F (p)
Дифференцирование оригинала (смещение)
Дифференцирование оригинала приводит к вычислению изображения по формуле:
f ′ (t) = pF (p) − f (0)
Вычисление
производной порядка n
позволяет вычислить изображение по
формуле:
При f (0) = 0 формула дифференцирование оригинала сводится к умножению изображения на p. Поэтому оператор дифференцирования d/dt действительно можно заменять символом p как в операционном исчислении, но только при оперировании с изображениями по Лапласу.
f ′ (t) = pF (p) ,
Предельные (тауберовы) теоремы
Если f (t) является оригиналом вместе со своей производной f ′ (t), то
lim pF (p) = f (0)
p→∞
В
случае f (0) = 0 значение функции
Интегрирование оригинала
Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на p, т.е.
Раздел 1. Элементарные звенья систем управления
Понятие звена
Звеном системы называется ее элемент (часть), обладающий определенными свойствами в динамическом отношении. Звенья систем регулирования могут иметь самую разнообразную физическую основу (электрические, гидравлические, механические и т. п.) и конструктивное выполнение, но при этом относиться к одной функциональной группе. Соотношение входного и выходного сигналов в звеньях одной и той же группы описывается одинаковыми дифференциальными уравнениями. Это свидетельствует о том, что такие звенья имеют одинаковые динамические свойства.
Так как процесс автоматического регулирования определяется только динамическими свойствами системы (а следовательно, и ее звеньев), то в основу классификации звеньев положены их динамические свойства. Такая классификация звеньев по виду описывающих эти звенья дифференциальных уравнений дает возможность разработать стройную теорию АСР и единые методы их исследования и расчета, не зависящие от различий в физических процессах и конструктивных решениях, принятых в основу при проектировании АСР и ее элементов.
Простейшими типовыми звеньями АСР являются: усилительное, интегрирующее, апериодическое, колебательное, дифференцирующее и запаздывающее звенья.