8*. Проверьте правильность умозаключений сокращённым способом или методом аналитических таблиц (деревьев).

1)*. Лекция по логике может быть содержательной или занимательной. Если лекция содержательна – ее конспектируют, но не слушают, а если занимательна – ее слушают, но не конспектируют. Значит, лекции по логике конспектируют, но не слушают или слушают, но не конспектируют (Кузина Е.Б. «Практическая логика». С. 117).

2)*. Если лекции не интересны, то их плохо посещают. Когда лекции плохо посещают, учебная часть проверяет посещаемость. Если же учебная часть проверяет посещаемость, то ее инспектора перегружены работой. Значит, если лекции интересны, то инспектора учебной части не перегружены работой (Е.Б. Кузина «Практическая логика». С. 118).

3)*. В РГГУ учатся способные или прилежные студенты. Если студенты, обучающиеся в РГГУ, прилежны, то они регулярно занимаются. Значит, если студенты РГГУ не занимаются регулярно, то они способны.

4)*. Если у студента есть академическая задолженность, то он не получает стипендию. Если у него нет задолженности, то он получает стипендию. Значит, он получает стипендию тогда и только тогда, когда у него нет задолженности.

5)*. Если бы он ей не сказал, она никогда бы не узнала. А не спроси она его, он бы и не сказал. Но она узнала. Значит, она его спросила (В.А. Бочаров, В.И. Маркин «Введение в логику»).

9*. Постройте вывод в натуральном исчислении высказываний.

1)* p  q, q v r, p ├ r v s

2)* р  r ├ (p & r)  r

3)* (p v q)  r ├ q  r

4)* p  q, p  q ├ p

5)* p  q, р  r ├ (q v r)  p

10. Докажите следующие теоремы в натуральном исчислении высказываний.

1)*. ├ p   p

2)*. ├ (p  p)  p

3)*. ├ (p  (q  r))  (p & q)  r)

4)*. ├ p v p

5)*. ├  (p & p)

6)**. ├  (p & q)  (p vq)

7)**. ├  (p v q)  (p &q)

11*. Обоснуйте правильность умозаключений средствами натурального исчисления высказываний.

1)*. Если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6. Следовательно, если число делится на 2, но не делится на 6, то оно не делится на 3.

2)*. Иван любит Марью или Дарью. Если он любит Марью, то любит и Дарью. Значит неверно, что Иван не любит Дарью.

3)*. Если вы летом избегали «бывать на солнце», то вы не загорели. Но вы загорели. Следовательно, вы «бывали на солнце».

Часть 3 (вопросы 15 - 19)

1. Переведите высказывания с естественного языка на язык логики предикатов.

1). Все моряки боятся пиратов.

2). Некоторые маленькие девочки бояться врачей.

3). Кто-то приглашает кого-то, а тот его не приглашает.

4). Некоторые девушки учатся в университете, а некоторые – в колледже.

5). Все делегаты съезда – партийные и профсоюзные лидеры.

6). Все студенты уважают друг друга.

7)*. Все короли воевали друг с другом.

2. Возьмем некоторую реализацию <U, I>, где U - множество натуральных чисел, а I интерпретирующая функция: I(a) = 1, I(b) = 2, I(с) =3, I(f) = операции возведения в квадрат, I(h) = операции умножения, I(P) = множество нечетных чисел, I(Q) = множество пар чисел, первое из которых больше второго. Опре­делите значения в данной реализации следующих термов и формул:

1) Р(h(а, b)),

2) Р(c) v ¬P(f(c)),

3) x yQ(c,h(х,у)),

4) x(Р(х) & Q(x, f(x))),

5) x(P(x) ¬P(h(x, а))).

3*. Продемонстрируйте выполнимость следующей формулы, подобрав реали­зацию, в которой она принимает значение «истина»:

х(Р(х, а) & Р(х, b)).

Продемонстрируйте опровержимость этой же формулы, подобрав реализацию, в которой она принимает значение «ложь».

4. Подберите конкретную реализацию, демонстрирующую, что следующие формулы совместимы по истинности:

¬ xP(x, а) и хР(а, х).

5. Подберите конкретную реализацию, демонстрирующую, что следующие формулы совместимы по ложности:

а) xP(x, а) и ¬ xP(x, а).

6*. Продемонстрируйте некорректность следующих умозаключений, для чего выявите их логические формы и подберите соответствующие контрреализации (контрпримеры):

а) Каждый человек является экстравертом или интровертом. Следовательно, не существует людей, которые одновременно являлись бы экстравертами и интровертами.

б) Нельзя сказать, что все политики справедливы. Нельзя сказать, что все политики умны. Значит, про какого-то политика можно сказать, что он не справедлив и не умен.

7. Используя метод аналитических таблиц (деревьев), покажите общезначимость формул.

1)* хР(х) Р(а)

2)* Р(а) хР(х)

4)** ∃x∀yR(x,y) ⊃ ¬∃y∀x¬R(x,y)

5)** ∃x(∃yP(y) ⊃ P(x))

8**. Построить доказательства в натуральном исчислении предикатов первого порядка.

1) x (P(x) y P(y))

2) x P(x) x P(x)

3) x P(x) x P(x)

4) x (Q(y) R(x,y)) (Q(y) x R(x,y))