Если возникли трудности с интегралом , то следует вернуться к статье Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Единственное, что еще можно сделать, это «причесать» ответ:
Но если Ваша техника вычислений не очень хороша, то самый выгодный вариант оставить ответом 
,
или даже 
.
То есть, пример считается решенным, когда взят последний интеграл. Ошибкой не будет, другое дело, что преподаватель может попросить упростить ответ.
Пример 6 Найти неопределенный интеграл
.
Это пример для самостоятельного решения. Данный интеграл дважды интегрируется по частям. Особое внимание следует обратить на знаки – здесь легко в них запутаться, также помним, что
– сложная функция.
8.1.5. Интегралы от тригонометрических функций, умноженных на многочлен
Общее правило: за u всегда обозначается многочлен.
Пример 7 Найти неопределенный интеграл.
Интегрируем по частям:
231
Пример 8 Найти неопределенный интеграл
.
Это пример для самостоятельного решения.
Пример 9 Найти неопределенный интеграл
.
Еще один пример с дробью. Как и в двух предыдущих примерах за u обозначается многочлен.
Интегрируем по частям:
Пример 10 Найти неопределенный интеграл
.
Это пример для самостоятельного решения.
Подсказка: перед использованием метода интегрирования по частям следует применить некоторую тригонометрическую формулу, которая превращает произведение двух тригонометрических функций в одну функцию. Формулу также можно использовать и в ходе применения метода интегрирования по частям, кому как удобнее.
8.1.6. Интегралы от обратных тригонометрических функций. Интегралы от обратных тригонометрических функций, умноженных на многочлен
Общее правило: за u всегда обозначается обратная тригонометрическая функция.
Напоминаем, что к обратным тригонометрическим функциям относятся арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Для краткости записи мы будем называть их «арками».
Пример 11 Найти неопределенный интеграл.
232
Решаем.
.
Интегрируем по частям:
Здесь интеграл найден методом подведения функции под знак дифференциала, можно использовать и метод замены в «классическом» виде. Аналогичный пример разбирался на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Таким образом, помимо «чистого» интегрирования по частям нередко требуется применять другие методы и приёмы решения.
Пример 12 Найти неопределенный интеграл
.
Это пример для самостоятельного решения.
И заключительный пример сегодняшнего урока под счастливым номером тринадцать: «арк», умноженный на многочлен. Он сложнее, и предназначен для маньяков, желающих лучше разобраться в методе интегрирования по частям. Пример, пожалуй, будет тоже для самостоятельного решения, поскольку меня немного утомил тот логарифм в квадрате.
Пример 13 Найти неопределенный интеграл
.
Рассмотренный метод часто применяется в комбинации с другими приёмами решения интегралов. Читатели с хорошими навыками могут ознакомиться с такими примерами на уроке
Сложные интегралы.
Решения и ответы:
Пример 3: Решение:
.
Пример 4: Решение:
Интегрируем по частям:
.
Пример 6: Решение:
Дважды интегрируем по частям:
Пример 8: Решение:
Интегрируем по частям:
Пример 10: Решение:
Интегрируем по частям:
Примечание: Здесь мы использовали известную тригонометрическую формулу двойного угла
. Её можно было использовать и сразу: 
, а потом интегрировать по частям.
Похожим способом также решаются интегралы вроде 
, 
– в них необходимо (сразу или в ходе решения) понизить степень синуса (косинуса) с помощью соответствующих формул.
Более подробно – см. Интегралы от тригонометрических функций.
Пример 12:
Интегрируем по частям:
Пример 13:
Интегрируем по частям:
Примечание: Если возникли трудности с интегралом
,
то следует посетить урок Интегрирование некоторых дробей.
8.1.7. Интегралы от тригонометрических функций. Примеры решений
На данном уроке мы рассмотрим интегралы от тригонометрических функций, то есть начинкой интегралов у нас будут синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы в различных комбинациях. Все примеры будут разобраны подробно, доступно и понятно.
Для успешного изучения интегралов от тригонометрических функций Вы должны хорошо ориентироваться в простейших интегралах, а также владеть некоторыми приемами интегрирования. Ознакомиться с этими материалами можно на лекциях Неопределенный интеграл. Примеры решений и Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
А сейчас нам потребуются Таблица интегралов, Таблица производных и Справочник тригонометрических формул. Все методические пособия можно найти на странице Математические формулы и таблицы. Рекомендую всё распечатать. Особо заостряю внимание на тригонометрических формулах, они должны быть перед глазами – без этого эффективность работы заметно снизится.
Но сначала о том, каких интегралов в данной статье нет. Здесь не найдется интегралов вида
, 
– косинус, синус, умноженный на какой-нибудь многочлен (реже что-нибудь с тангенсом или котангенсом). Такие интегралы интегрируются по частям,
и для изучения метода посетите урок Интегрирование по частям. Примеры решений.
Также здесь не найдется интегралов с «арками» – арктангенсом, арксинусом и др., они тоже чаще всего интегрируются по частям.
При нахождении интегралов от тригонометрических функций используется ряд методов, в том числе:
-использование тригонометрических формул;
-понижение степени подынтегральной функции (частный случай п.1);
-метод замены переменной;
-универсальная тригонометрическая подстановка (частный случай п.3).
Следует отметить, что данное разделение весьма условно, поскольку очень часто все вышеперечисленные правила используются одновременно в одном примере.
Пример 1 Найти неопределенный интеграл.
Сначала полное решение, потом комментарии.
236
Используем формулу:
(1) Мы видим, что в подынтегральном выражении находится произведение двух функций. К сожалению, в интегральном исчислении нет удобной формулы для интегрирования
произведения в виде 
, поэтому приходится прибегать к различным ухищрениям.
В данном случае мы прерываем решение значком 
и поясняем, что используется тригонометрическая формула. Данная формула превращает произведение в сумму.
(2) Используем свойства линейности неопределенного интеграла – интеграл от суммы равен сумме интегралов; константу можно (и нужно) вынести за знак интеграла.
Справка: При работе с тригонометрическими функциями следует помнить, что: Косинус – это четная функция, то есть
, - минус исчезает без всяких последствий.
В рассматриваемом примере: 
. Синус – функция нечетная:
, – здесь минус, наоборот, не пропадает, а выносится.
(3)Под интегралами у нас сложные функции (косинусы не просто от x, а от сложного аргумента). Это простейшие из сложных функций, интегралы от них удобнее найти методом подведения под знак дифференциала.
(4)Используем табличную формулу 
, единственное отличие в том, что вместо «икса» у нас сложное выражение.
Готово.
Пример 2 Найти неопределенный интеграл
.
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока.
Пример 3 Найти неопределенный интеграл
.
Как Вы, наверное, заметили, в таблице интегралов нет интеграла от тангенса и котангенса, но, тем не менее, такие интегралы найти можно.
(1) |
Используем тригонометрическую формулу |
. |
(2) |
Подводим функцию под знак дифференциала. |
|
(3) Используем табличный интеграл 
.
Пример 4 Найти неопределенный интеграл
.
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока.
Пример 5 Найти неопределенный интеграл
.
Сначала решение:
(1) Используем формулу
.
(2) Используем основное тригонометрическое тождество 
, из которого следует, что 
.
(3)Почленно делим числитель на знаменатель.
(4)Используем свойство линейности неопределенного интеграла.
(5)Интегрируем с помощью таблицы.
Пример 6 Найти неопределенный интеграл
.
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока.
Также существуют интегралы от тангенсов и котангенсов, которые находятся в более высоких степенях. Интегралы от тангенса (котангенса) в четвертой и пятой степенях можно раздобыть на странице Сложные интегралы.
Понижение степени подынтегральной функции
Данный приём работает, когда подынтегральные функции нафаршированы синусами и косинусами в чётных степенях. Для понижения степени используют тригонометрические
формулы 
, 
и 
, причем последняя формула чаще используется в обратном направлении,
как: 
.
Пример 7
Найти неопределенный интеграл.
Решение:
В принципе, ничего нового здесь нет, за исключением того, что мы применили формулу
, понизив степень подынтегральной функции. Обратите внимание, что мы сократили решение. По мере накопления опыта интеграл от cos2x можно находить устно, это экономит время и вполне допустимо при чистовом оформлении заданий. В данном случае
целесообразно не расписывать и правило 
, сначала устно берем интеграл от 1, затем – от cos2x.
Пример 8 Найти неопределенный интеграл
.
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока.
Далее – пример с повышением степени:
Пример 9 Найти неопределенный интеграл
.
Сначала решение, потом комментарии:
(1)Готовим подынтегральную функцию для применения формулы 
.
(2)Собственно применяем формулу.
(3)Возводим знаменатель в квадрат и выносим константу за знак интеграла. Можно было поступить несколько иначе, но так удобнее.
(4)Используем формулу 
.
(5)В третьем слагаемом снова понижаем степень, но уже с помощью формулы
.
(6) Приводим подобные слагаемые (здесь мы почленно разделили 
и выполнили сложение 
).
(7)Собственно берём интеграл, правило линейности 
и метод подведения функции под знак дифференциала выполняем устно.
(8)Причесываем ответ.
В неопределенном интеграле нередко ответ можно записать несколькими способами. |
|
В |
только |
что |
рассмотренном |
примере |
окончательный |
ответ |
можно было записать иначе – раскрыть скобки и даже сделать это до интегрирования выражения. То есть вполне допустима следующая концовка примера:
Пример 10 Найти неопределенный интеграл
.
Это пример решается двумя способами, и у Вас могут получиться два разных ответа (точнее, они будут выглядеть совершенно по-разному, но с математической точки зрения являться эквивалентными). Скорее всего, Вы не увидите наиболее рациональный способ и помучаетесь с раскрытием скобок, использованием других тригонометрических формул. Наиболее эффективное решение приведено в конце урока.
Подытоживая параграф, сделаем вывод: любой интеграл вида 
, где n и m – чётные числа, решается методом понижения степени подынтегральной функции.
На практике мне встречались интегралы с 8 и 10 степенями, решать их приходилось ужасно долго, понижая степень несколько раз, в результате получались длинные-длинные ответы.
Метод замены переменной
Как уже упоминалось в статье Метод замены переменной в неопределенном интеграле, основной предпосылкой для использования метода замены является тот факт, что в
подынтегральном выражении есть некоторая функция 
и её производная 
:
(функции 
, 
не обязательно находятся под знаком интеграла в виде произведения).
Пример 11 Найти неопределенный интеграл
.
