Sbor_z_u_m (1)

Алгоритм подбора числителя в подобных примерах лучше выполнять на черновике. При некоторых навыках будет получаться и мысленно.

Помимо алгоритма подбора можно использовать деление столбиком многочлена на многочлен, но, боюсь, объяснения займут еще больше места, поэтому - как-нибудь в другой раз.

Пример 4 Найти неопределенный интеграл

.

Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения.

Метод подведения под знак дифференциала для простейших дробей

Переходим к рассмотрению следующего типа дробей:

, , , (коэффициенты a и c не равны нулю).

На самом деле пара случаев с арксинусом и арктангенсом уже проскальзывала на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Решаются такие примеры способом подведения функции под знак дифференциала и дальнейшим интегрированием с помощью таблицы. Вот еще типовые примеры с длинным и высоким логарифмом:

Пример 5

Пример 6

Тут целесообразно взять в руки таблицу интегралов и проследить, по каким формулам и как осуществляется превращение. Обратите внимание, как и зачем выделяются квадраты в данных примерах. В частности, в Примере 6 сначала необходимо представить знаменатель (2x2-5) в

виде , а потом подвести под знак дифференциала. А сделать это всё нужно для того, чтобы воспользоваться стандартной табличной формулой

.

Попробуйте самостоятельно решить примеры №№ 7 и 8, тем более, что они достаточно короткие.

Пример 7 Найти неопределенный интеграл:

.

251

Пример 8 Найти неопределенный интеграл:

.

Если Вам удастся выполнить еще и проверку данных примеров, то Ваши навыки дифференцирования на высоте.

Метод выделения полного квадрата

Интегралы вида

,

(коэффициенты a и b не равны нулю) решаются методом выделения полного квадрата.

На самом деле такие интегралы сводятся к одному из четырех табличных интегралов, которые мы только что рассмотрели. А достигается это с помощью знакомых формул сокращенного умножения:

или .

Формулы применяются именно в таком направлении, то есть идея метода состоит в том, чтобы в знаменателе искусственно организовать выражения либо , а затем преобразовать их, соответственно, в либо .

Пример 9 Найти неопределенный интеграл

.

Это простейший пример, в котором при слагаемом x2 – единичный коэффициент (а не какоенибудь число или минус).

Смотрим на знаменатель, здесь всё дело явно сведется к случаю . Начинаем преобразование знаменателя:

.

Очевидно, что нужно прибавлять 4. И, чтобы выражение не изменилось – эту же четверку и вычитать:

После того, как преобразование закончено ВСЕГДА желательно выполнить обратный ход:

, всё нормально, ошибок нет.

Чистовое оформление рассматриваемого примера должно выглядеть примерно так:

Пример 10

252

Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока

Пример 11 Найти неопределенный интеграл

.

Что делать, когда перед x2 находится минус? В этом случае нужно вынести минус за скобки и

расположить слагаемые в нужном нам порядке: . Константу («двойку» в данном случае) не трогаем!

Теперь в скобках прибавляем единичку. Анализируя выражение, приходим к выводу, что и за скобкой нужно единичку прибавить:

ВСЕГДА выполняем на черновике проверку:

что и требовалось проверить.

Чистовое оформление примера выглядит примерно так:

Усложняем задачу.

Пример 12 Найти неопределенный интеграл:

Здесь при слагаемом x2 уже не единичный коэффициент, а «пятёрка».

253

Существуют интегралы с корнями в знаменателе, которые с помощью замены сводятся к интегралам рассмотренного типа, о них можно прочитать в статье Сложные интегралы, но она рассчитана на весьма подготовленных студентов.

Подведение числителя под знак дифференциала

Интегралы, которые мы будем рассматривать, похожи на интегралы предыдущего параграфа,

они имеют вид: или (коэффициенты a, b и f не равны нулю).

То есть, в числителе у нас появилась линейная функция. Как решать такие интегралы?

Пример 14 Найти неопределенный интеграл

.

Пожалуйста, будьте внимательны, сейчас мы рассмотрим типовой алгоритм. 1) Когда дан интеграл вида

или

(где коэффициенты a, b и f не равны нулю), то первое, что мы делаем, это… берём черновик. Дело в том, что сейчас нам предстоит выполнить небольшой подбор.

2) Сформируем числитель подынтегрального выражения тождественными преобразованиями (выразим числитель через знаменатель). Для этого пока просто заключаем выражение, которое находится в данном примере в знаменателе (неважно – под корнем или без корня), под знак

дифференциала: . 3) Раскрываем дифференциал:

.

Смотрим на числитель нашего интеграла: Немного разные вещи получились…. А теперь нам нужно подобрать множитель для

дифференциала , такой, чтобы при его раскрытии получилось, как минимум, 3x. В данном случае с подходящим множителем получится:

.

4) Для самоконтроля снова раскрываем наш дифференциал:

Снова смотрим на числитель нашего интеграла:

. Уже ближе, но у нас получилось не «то» слагаемое (+2), а другое: (+3/2). 5) К нашему дифференциалу

приписываем слагаемое, которое у нас изначально было в подынтегральной функции:

.

– Вычитаем (в данном случае – вычитаем, иногда нужно, наоборот, прибавлять)

255

наше «не то» слагаемое:

–Обе константы берем в скобки и приписываем справа значок дифференциала:

–Вычитаем (в некоторых примерах нужно сложить) константы:

.

6) Выполняем проверку:

У нас получился в точности числитель подынтегральной функции, значит, подбор выполнен успешно.

Чистовое оформление решения выглядит примерно так:

(1)Выполняем на черновике подбор числителя согласно вышерассмотренному алгоритму. Обязательно выполняем проверку, правильно ли выполнен подбор. При определенном опыте решения интегралов подбор нетрудно выполнить и в уме.

(2)Почленно делим числитель на знаменатель. В практическом решении задач данный шаг можно опускать

256

(3)Используя свойство линейности, разделяем интегралы. Все константы целесообразно вынести за знаки интегралов.

(4)Первый интеграл фактически является табличным, используем формулу

(константу C припишем позже, когда возьмем второй интеграл). Во втором интеграле выделяем полный квадрат (такой тип интегралов мы рассмотрели в предыдущем параграфе). Остальное дело техники.

И, на закуску, пара примеров для самостоятельного решения – один проще, другой сложнее.

Пример 15 Найти неопределенный интеграл

.

Пример 16 Найти неопределенный интеграл

.

Для решения Примеров 15 и 16 будет полезен частный случай интегрирования степенной функции, которого нет в нашей справочной таблице:

.

Как видите, интегрирование дробей - дело кропотливое, часто приходится применять искусственные приемы и подборы. Но что делать… Существуют и другие виды дробей, так называемые дробно-рациональные функции, они

решаются методом неопределенных коэффициентов. Но это уже тема урока Интегрирование дробно рациональных функций.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

.

Пример 4: Решение:

.

Пример 7: Решение:

257

.

8.1.9. Интегрирование дробно-рациональной функции. Метод неопределенных коэффициентов

Продолжаем заниматься интегрированием дробей. Интегралы от некоторых видом дробей мы уже рассмотрели на уроке Интегрирование некоторых дробей, и этот урок в некотором смысле можно считать продолжением. Для успешного понимания материала необходимы базовые навыки интегрирования, поэтому если Вы только приступили к изучению интегралов, то есть, являетесь чайником, то необходимо начать со статьи Неопределенный интеграл. Примеры решений.

Как ни странно, сейчас мы будем заниматься не столько нахождением интегралов, сколько… решением систем линейных уравнений. А именно – нужно хорошо ориентироваться в методах подстановки («школьном» методе) и методе почленного сложения (вычитания) уравнений системы линейных алгебраических уравнений.

Что такое дробно-рациональная функция? Простыми словами, дробно-рациональная функция – это дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены либо произведения многочленов. При этом дроби являются более навороченными, нежели те, о которых шла речь в статье Интегрирование некоторых дробей.

Интегрирование правильной дробно-рациональной функции

Сразу пример и типовой алгоритм решения интеграла от дробно-рациональной функции.

Пример 1 Найти неопределенный интеграл

.

Шаг 1. Первое, что мы ВСЕГДА делаем при решении интеграла от дробно-рациональной функции – это выясняем следующий вопрос: является ли дробь правильной? Данный шаг выполняется устно, и вот как:

Сначала смотрим на числитель и выясняем старшую степень многочлена:

.

259

Старшая степень числителя равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и выясняем старшую степень знаменателя. Напрашивающийся путь – это раскрыть скобки и привести подобные слагаемые, но можно поступить проще, в каждой скобке находим старшую степень

и мысленно умножаем: – таким образом, старшая степень знаменателя равна трём. Совершенно очевидно, что если реально раскрыть скобки, то мы не получим степени больше трёх.

Вывод: Старшая степень числителя СТРОГО меньше старшей степени знаменателя, значит, дробь является правильной.

Если бы в данном примере в числителе находился многочлен 3, 4, 5 и т.д. степени, то дробь была бы неправильной.

Сейчас мы будем рассматривать только правильные дробно-рациональные функции.

Случай, когда степень числителя больше либо равна степени знаменателя, разберём в конце урока.

Шаг 2. Разложим знаменатель на множители. Смотрим на наш знаменатель:

.

Вообще говоря, здесь уже есть произведение множителей, но, тем не менее, задаемся вопросом: нельзя ли что-нибудь разложить еще? Объектом пыток, несомненно, выступит квадратный трехчлен. Решаем квадратное уравнение, ищем его корни:

Дискриминант уравнения больше нуля, значит, трехчлен действительно раскладывается на множители.

Общее правило: ВСЁ, что в знаменателе МОЖНО разложить на множители – НУЖНО разложить на множители.

Начинаем оформлять решение:

.

Шаг 3. Методом неопределенных коэффициентов раскладываем подынтегральную функцию в сумму простых (элементарных) дробей. Сейчас будет понятнее.

Смотрим на нашу подынтегральную функцию:

.

И, знаете, как-то проскакивает интуитивная мысль, что неплохо бы нашу большую дробь превратить в несколько маленьких. Например, вот так:

.

Возникает вопрос, а можно ли вообще так сделать? Вздохнем с облегчением, соответствующая теорема математического анализа утверждает – МОЖНО. Такое разложение существует и

единственно.

260