19. Непрерывность функции на интервале и на отрезке.

Функция называется непрерывной на интервале (a;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна на отрезке (a;b) и в точке x = a непрерывна справа , а в точке x = b непрерывна слева .

20. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

1) Теорема Вейрштрасса. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

1’) Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

2) Теорема Больцано-Коши. Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах неравные значения f(a) = A и f(b) = B, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между А и В.

2’) Следствие. Если функция непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах разные по знаку значения, то внутри отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка с, в которой функция обращается в нуль. F(c) = 0

21. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

или

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

22. Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Физический смысл. Производная – скорость протекания процесса.

Геометрический смысл. Производная в точке х равна угловому коэффициенту касательной (тангенсу угла наклона) к графику функции в точке, абсцисса которой равна х.

23. Уравнение касательной и нормали к кривой.

Уравнение касательной.

Уравнение нормали.

24. Односторонние производные функции в точке.

Возьмем функцию y = |x| в точке х=0. , .

В таких случаях говорят, что функция имеет односторонние производные(или «производные слева и справа»), и обозначают соответственно и .

Если , значит, производная в точке не существует.

25. Основные правила дифференцирования.

Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций. .

Производная произведения двух функций равна произведению первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: .

Производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведения знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя: . Выполняется, когда .

26. Производные основных функций.

Степенная функция.

Дадим аргументу x приращение . Функция получит приращение . По формуле бинома Ньютона имеем

Тогда ,

Показательна функция.

Для начала найдем формулу для . Дадим аргументу x приращение . Функция получит приращение , . Формулу для найдем как для сложной функции

Логарифмическая функция.

Аналогично предыдущему докажем сначала, что , далее как для сложной функции найдем, что

Тригонометрическая функция.

Пользуясь первым замечательным пределом докажем, что .

Дли косинуса найдем производную как для сложной функции .

Аналогично и для тангенса (катангенса).

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

27. Производная сложной функции.

Пусть и , тогда - сложная функция

Если функция имеет производную в точке х, а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке х, которая находится по формуле

28. Логарифмическое дифференцирование.

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. А затем результат продифференцировать.

29. Производная показательно – степенной функции.

30. Производная обратной функции.

Производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

31. Дифференциал функции.

Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

32. Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение

33.Свойства дифференциала.

34.Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи.

Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Первый дифференциал функции определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли её аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.

35. Формула Тейлора.

Для многочлена степени n:

Для произвольной функции: Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в ней производные до -го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка такая, что справедлива формула:

, где

- остаточный член формулы Тейлора, записанный в форме Лагранджа

36. Формула Лагранжа.

или

37. Формула Маклорена.

Частный случай формулы Тейлора при .

, где .

38. Представление функций по формуле Тейлора.

Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в ней производные до -го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка такая, что справедлива формула:

39. Бином Ньютона.

Бином Ньютона – формула, выражающая выражение в виде многочлена.

40. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

, причем это равенство тем точнее, чем меньше

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

41. Теоремы о среднем.

42. Теорема Ролля.

Если функция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, т.е. .

43. Теорема Лагранжа.

Если функция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство

44. Теорема Коши.

Если функции и непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), причем для , то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство .

45. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.

1) Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида . Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки и обращаются в нуль в этой точке. Пусть в окрестностях точки . Если существует предел , то .

2) Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида . Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки (кроме, может быть, точки ), в этой окрестности , . Если существует предел , то .

46. Производная и дифференциалы высших порядков.

Дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала -го порядка:

Дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам.

47. Правила нахождения производных.

48. Исследование функций.

49. Возрастание и убывание функций.

Необходимость. Если дифференцируемая на интервале (a;b) функция f(x) возрастает (убывает), то ( ) для всех х из (a;b).

Достаточность. Если функция f(x) дифференцируема на интервале (a;b) и то ( ) для всех х из (a;b), то эта функция возрастает (убывает) на интервале (a;b).

При исследовании функции необходимо найти производную и установить на каких отрезках она положительная (функция возрастает), а на каких – отрицательна (функция убывает).