Вычисление криволинейного интеграла
Теорема.
Пусть L
- кривая,
заданная уравнениями
,
,
,
где
и
непрерывны на
вместе со своими производными, а
функции
и
непрерывны вдоль кривой L.
Тогда существует криволинейный
интеграл J
и справедливо равенство
=
.
Следствие.
Если кривая
L
задана уравнением
,
,
причем функция
имеет кусочно-непрерывную производную,
а функции
и
- кусочно- непрерывны вдоль кривой
L,
то существует криволинейный
интеграл J
и справедливо равенство
=
.
Пример 24.
Вычислим криволинейный интеграл I=
,
где кривая L
задана уравнением
и соединяет точки A
(1, 1) и
B
(-1, 1).
Учитывая, что
,
,
и x
изменяется от 1 до -1, по формуле для
вычисления криволинейного интеграла
(см. следствие из
теоремы) имеем
I
=
.
Пример 25.
Вычислим интеграл I
=
,
где L
- окружность
.
Выпишем параметрические
уравнения данной окружности:
,
,
.
Вычислим интеграл, используя теорему
и учитывая, что
,
.
I
=
=
.
Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Теорема.
Если функции
,
и их частные производные
,
непрерывны в ограниченной области D
с кусочно-гладкой
границей L,
то справедливо равенство
=
.
Это равенство называется формулой Грина.
Напомним, что область D называется односвязной, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит области D.
Теорема. Пусть функции , и их частные производные , непрерывны в односвязной области D. Тогда следующие условия эквивалентны:
Для любого замкнутого кусочно-гладкого контура L, расположенного в области D, справедливо равенство =0.
Для любых двух точек A и B в области D криволинейный
интеграл не зависит от формы пути интегрирования, расположенного в области D.
3. Выражение
является полным дифференциалом, т.е. в
области D
существует функция
,
такая, что
.
При этом для
любой кусочно-гладкой кривой AB,
лежащей в области D,
имеет место равенство
=
.
В области D выполняется равенство = .
Замечание.
Функция
из условия 3 может быть найдена по формуле
=
,
где интеграл в правой части берется по
произвольной кривой AB,
лежащей в области D
и соединяющей
какую-нибудь фиксированную точку
с точкой
(c
- произвольная постоянная). В качестве
кривой AB
удобно бывает брать ломаную, состоящую
из двух отрезков, параллельных осям
координат.
Пример 25. Найдем функцию , если
.
Сначала убедимся, что функция действительно существует, т.е. выполнено равенство = .
В нашем примере
,
,
.
Функцию
будем искать по формуле
=
;
интеграл в правой части вычислим по
кривой L,
соединяющей точку
с точкой
и представляющей собой ломаную, состоящую
из двух отрезков, параллельных осям
координат:
.
На отрезке
,
следовательно,
;
на отрезке
,
поэтому
.
=
=
.