2.7. Правило Лопиталя – Бернулли.
При исследовании функций может появиться
необходимость нахождения предела дроби
,
числитель и знаменатель которой при
стремятся к нулю или бесконечности.
Для нахождения таких пределов бывает
удобно воспользоваться следующим
правилом:
Теорема. Если функции
и
дифференцируемы в окрестности точки
,
обе или обращаются в нуль в этой точке,
или стремятся к бесконечности и
существует предел отношения
при
,
тогда существует предел отношения
самих функций, равный предел отношения
производных.
.
Замечание 1. Теорема верна и в том случае,
когда функции
и
не определены в точке
,
но
или
.
Замечание 2. Теорема верна и в случае
,
т.е. когда
или
Другими словами правило Лопиталя –
Бернулли применяется для раскрытия
неопределенностей типа
и
.
С помощью тождественных преобразований
к основному виду
и
можно свести неопределенности других
видов, таких как
.
При выполнении соответствующих условий правило Лопиталя – Бернулли можно применять несколько раз.
Пример 2.24.
Найти
.
Решение. Найдем значения функций, стоящих в числителе и знаменателе при :
.
.
Так как обе функции дифференцируемы в окрестности точки , то применим правило Лопиталя – Бернулли.
[Подставим
в получившиеся в числителе и знаменателе
функции
,
]
= –1.
Ответ: {–1}.
Пример
2.25. Найти
.
Решение.
Найдем значения функций, стоящих в
числителе и знаменателе при
:
.
.
Так как обе функции дифференцируемы в окрестности точки , то применим правило Лопиталя – Бернулли.
;
[ Подставим
в получившиеся в числителе и знаменателе
функции
,
].
Так как неопределенность
сохранилась, и функции получившиеся в
числителе и знаменателе опять
удовлетворяют условиям теоремы (2.1), то
можно применить правило Лопиталя –
Бернулли еще раз.
.
Ответ: {2}.
Пример 2.26.
Вычислить
.
Решение.
Проверкой убеждаемся, что функции,
стоящие в числителе и в знаменателе
обращаются в нуль при
.
Так ак они обе непрерывно дифференцируемы,
то применяем правило Лопиталя –
Бернулли:
.
Ответ:
.
2.8.Формула Тейлора.
Одной из важнейших формул математического анализа несомненно является формула Тейлора, которая широко применяется и как инструмент теоретического исследования и как средство решения многих практических задач.
Формула
Тейлора позволяет приближенно представить
произвольную функцию в виде многочлена
и вместе с тем позволяет оценить
возникающую при этом погрешность
,
которая может быть сделана сколь угодно
малой.
Вычисление значений функции при этом сводится к вычислению значений многочлена, что можно сделать, производя только простейшие арифметические действия.
Теорема
Тейлора. Функция
,
дифференцируемая
раз в некотором интервале, содержащем
точку
,
может быть представлена в виде суммы
многочлена n-ой степени
и остаточного члена
,
а именно:
, где
– остаточный член в форме Пеано,
бесконечно малая величина по сравнению
с
.
Напомним, что операция факториал определяется следующим образом:
;
;
;
0!=1
Если
,
то формула принимает вид:
и называется формулой Маклорена, однако
для многих функций она неприменима,
так как сами функции или их производные
не существуют при
(например:Ф
).
Напомним, что частный случай замены функции многочленом был уже рассмотрен в п (1.5), где рассматривалось применение дифференциала к приближенным вычислениям. Именно там функция заменялась многочленом первой степени, т.е линейной функцией. Однако эти результаты носят очень ограниченный характер, так как не дают возможность оценивать точность такой замены.
Остаточный член в формуле Тейлора можно записывать и в других формах, например Коши или Лагранжа. И выбор формы его записи обычно диктуется условиями конкретной задачи.
Пример
2.27. Разложить
в ряд Маклорена функцию
.
Решение. Вычислим значение данной функции и ее производных при :
Формула Тейлора для некоторых элементарных функций.
Список литературы
1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: В 2 ч. М.: Айрис Пресс, 2006. Ч. 1.
2. Методы вычисления пределов: Методические указания к решению задач / Сост.: Ю. В. Крашенинникова, М. Н. Абрамова. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008.
Содержание
1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 3
1.1. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл. 3
1.2. Техника дифференцирования основных элементарных функций. 5
1.3. Основные правила дифференцирования. 6
1.4. Дифференцирование показательно – степенной функции. 11
1.5. Дифференцирование неявно заданных функций и функций, заданных параметрически. 12
1.6. Производные высших порядков. 13
2. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ 15
2.1. Дифференциал функции. 15
2.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. 16
2.3. Уравнения касательной и нормали к графику функции. 17
2.4. Правило Лопиталя – Бернулли. 20
2.5. Формула Тейлора. 22
Список литературы 25
Редактор И. Г. Скачек
__________________________________________________________________
Подписано в печать Формат 6084 1/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 2.0.
Гарнитура «Times». Тираж 250 экз. Заказ
__________________________________________________________________
Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»