Запись уравнений переменных состояния по дсс.
Если не требуется получения специальных (канонических) форм, то проще всего это сделать по методике:
Выбрать в качестве переменных состояния, выходные переменные всех интегрирующих звеньев.
По схеме записать уравнения состояния:
,
.
Для этого звено
удобно рассматривать как
тогда
,
где
должна быть выражена через
и
.
По схеме записать уравнения выхода:
По уравнениям записать матрицы
и уравнения вида:
,
.
Замечание: Если схема не является ДСС то удобно воспользоваться УКФ (смотри далее).
§17. Линеаризация уравнений динамических систем.
Линеаризация – замена не линейной математической модели приближенной линейной моделью, которая при определенных условиях эквивалентна исходной модели.
Линеаризация функции одной переменной(линеаризация не линейной статической характеристики).
Пусть звено описывается уравнением
(17.1)
Где
вход;
выход.
Пусть в установившемся режиме
.
В переходном процессе
и
отличаются от
и
,
т.е. возникают отклонения
(17.2)
точка
линеаризации.
Задача линеаризации уравнения (17.1) в
малой окрестности
состоит в приближенной замене (17.1)
линейным уравнением записанным для
отклонений
и
.
(17.3)
Чтобы найти коэффициент линеаризации
разложим функцию
в ряд Тейлора в окрестности точки
,
считая, что
имеет в этой точке необходимое число
производных.
(17.4)
где, например,
Считая отклонения
малыми, удержим в (17.4) только члены
содержащие
в степени не больше первой.
(17.5)
Вычтем из уравнения (17.5) уравнение статики
(17.6)
Тогда с учётом (17.2) получаем
(17.7)
Из сравнения (17.7) и (17.3) находим
(17.8)
Геометрически коэффициент линеаризации
есть
угла
наклона касательной к графику функции
в точке линеаризации.
Особенности уравнения (17.7) или (17.3).
В отличие от уравнения (17.7) оно записано не для самих переменных, а для их отклонений.
Относительно отклонений оно линейно.
оно является приближенным, т.к. были отброшены члены высших порядков малости в разложенном ряде Тейлора.
Замечания:
Метод справедлив только при малости отклонений.
Не могут быть линеаризованы функции имеющие разрывы.
Обычно не линеаризуются гладкие функции (имеющие разрывы производных).
Линеаризация функции нескольких переменных.
Пусть функция
(17.9)
дифференцируема в окрестности
по каждому аргументу.
Разложим в ряд Тейлора и отбросим члены высших порядков малости.
(17.10)
где
Вычитая уравнение статики
(17.11)
получаем с учетом обозначений
,
;
(17.12)
где коэффициент линеаризации
.
Уравнениям (17.9) и (17.12) соответствуют схемы:
Линеаризация уравнений в переменных состояния.
(17.13)
(17.14)
Разложим
и
в ряд Тейлора в окрестности точки
и отбросим
(17.15)
(17.16)
Вычтем из уравнения (17.15) и (17.16) уравнения статики
с учетом обозначений
;
;
;
,
получаем
В векторной форме
Практические способы линеаризации.
Описанная выше процедура с разложением в ряд Тейлора, на примере функции
.
Представляем все переменные как
;
Выполняем все действия предусмотренные в
.Вычитаем уравнение статики.
Самый короткий.
Записываем полный дифференциал.
Заменяем
Пример 17.1.
.
