Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun
.pdf10 |
Предисловие |
Вконце концов все полевые теории струн будут описаны геометрически, и один из многообещающих геометрических формализмов представлен в гл. 8. Начинающему читателю гл. 8 может показаться трудноватой, поскольку она содержит много математики. Поэтому он может ее опустить.
Вчасти III начинающий может опустить гл. 9. Обсуждение аномалий включает довольно много вычислений, в основном оперирует с точечными частицами и часто пересекается с материалом, который можно найти в других книгах. Главу 10 пропускать не следует, так как в ней изложена одна из наиболее многообещающих теорий суперструн из обсуждаемых в настоящее время. Подобным образом гл. И содержит существенную часть нашего понимания того, как теория суперструн может в конечном итоге стать предметом сопоставления с экспериментальными данными.
Автор надеется, что это поможет как начинающему, так и более подготовленному читателю решить, как ему следует подходить к настоящей книге.
Часть I ПЕРВИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ
И КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Глава 1
КОНТИНУАЛЬНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ТОЧЕЧНЫЕ ЧАСТИЦЫ
§ 1.1. ДЛЯ ЧЕГО СТРУНЫ?
Объединение двух фундаментальных теорий современной физики, квантовой теории поля и общей теории относительности, в рамках единого теоретического подхода является одной из важнейших нерешенных проблем. Примечательно, что эти две теории, вместе взятые, воплощают всю сумму человеческих знаний о наиболее фундаментальных силах природы. Квантовая теория поля, например, добилась необычайного успеха в объяснении физики микромира вплоть до расстояний, не превышающих 10"15 см. Общая теория относительности (ОТО), с другой стороны, не имеет себе равных в объяснении крупномасштабного поведения космоса, давая красивое и захватывающее объяснение происхождения самой Вселенной. Поразительный успех этих двух теорий заключается в том, что вместе они могут объяснить поведение материи и энергии в ошеломляющем диапазоне величин в 40 порядков, от субъядерной до космологической области.
Большой загадкой последних пяти десятилетий, однако, была полная несовместимость этих двух теорий. Это выглядит так, как если бы у природы было два ума, каждый из которых работает независимо от другого в своей области, действуя в полной изоляции друг от друга. Почему природа на своем самом глубоком и фундаментальном уровне должна требовать двух полностью различных подходов с двумя наборами математических методов, двух наборов постулатов и двух наборов физических принципов?
В идеале хотелось бы иметь единую теорию поля, объединяющую эти две фундаментальные теории:
Квантовая теория поля |
) |
Общая теория относительности |
Jг Единая теория поля. |
Однако история попыток объединения этих двух теорий в минувшие десятилетия была печальной. Они неизменно вдребезги разбивались из-за появления бесконечностей (расходимостей) или нарушали некоторые почитаемые физические принципы, вроде принципа причинности. Мощные методы теории перенормировок, разработанные в квантовой теории поля за последние десятилетия, не смогли устранить расходи-
12 Гл. 1. Континуальные интегралы и точечные частицы
мости квантовой теории гравитации. Ясно, что важнейший кусок головоломки пока не найден.
Хотя квантовая теория поля и ОТО кажутся совершенно несовместимыми, последние два десятилетия интенсивных теоретических исследований сделали все более ясным, что секрет этой тайны скорее всего лежит в мощи калибровочной симметрии. Одна из наиболее замечательных черт природы - то, что ее основные законы обладают величественным единством и симметрией, когда они эыражены на языке теории групп. Объединение с помощью калибровочной симметрии, несомненно, один из самых поучительных уроков, преподнесенных физикой. В частности, использование локальных симметрий в теориях ЯнгаМиллса привело к огромному успеху в борьбе с расходимостями квантовой теории поля и в объединении законов физики элементарных частиц в элегантном и исчерпывающем подходе. Природа, похоже, не просто включает симметрию в физические законы по эстетическим соображениям. Природа требует симметрии.
Проблема заключалась, однако, в том, что даже мощных симметрий калибровочной теории Янга-Миллса и общей ковариантности уравнений Эйнштейна оказалось недостаточно для получения свободной от расходимостей квантовой теории гравитации.
Внастоящее время наибольшие надежды на действительно единое
исвободное от расходимостей описание этих двух теорий возлагаются на теорию суперструн [1-12]. Суперструны обладают намного большим набором калибровочных симметрий, чем любая другая физическая теория; возможно даже, что этот набор достаточен для устранения расходимостей квантовой теории гравитации. Симметрии теории суперструн не только включают симметрии ОТО и теории ЯнгаМиллса, они
также содержат в качестве подмножеств симметрии супергравитации и теорий Великого Объединения (ТВО) [13].
Грубо говоря, способ, которым теория суперструн решает загадку расходимостей, можно изобразить наглядно так, как это показано на рис. 1.1, где амплитуда рассеяния двух точечных частиц вычисляется
суммированием по бесконечному набору фейнмановских диаграмм
А
Рис. 1.1. Однопетлевая фейнмановская диаграмма для четырехчастичного рассеяния. Ультрафиолетовая расходимость этой диаграммы соответствует стягиванию в точку одной внутренней линии.
§ 1.1. Для чего струны |
13 |
Рис. 1.2. Двухпетлевая фейнмановская диаграмма для рассеяния замкнутых струн. Эта диаграмма не содержит ультрафиолетовой расходимости, так как в ней нельзя стянуть в точку внутреннюю линию в отличие от случая точечных частиц. Из одних лишь топологических соображений видно, что теория струн является менее расходящейся, чем теория точечных частиц. Инфракрасные расходимости,
однако, по-прежнему могут присутствовать.
с петлями. В общем случае эти диаграммы имеют особенности, соответствующие «стягиванию в точку» одной из внутренних линий с сохранением топологии графа. Для сравнения на рис. 1.2 показан однопетлевой вклад в амплитуду рассеяния двух замкнутых струн. Заметим, что, в отличие от случая точечных частиц, мы не можем здесь стянуть в точку одну из внутренних линий. Поэтому мы интуитивно ожидаем, что теория суперструн будет менее расходящейся или даже конечной вследствие симметрий (топологических инвариантов), запрещающих эту топологическую деформацию.
Любая теория, которая может одновременно устранить расходимости S-матрицы и включить квантовую механику, общую теорию относительности, ТВО и супергравитацию, с очевидностью должна содержать в себе математику, обладающую захватывающей дух красотой и сложностью. Действительно, даже математики были поражены той математикой, которая выросла из теории суперструн и соединила воедино самые несхожие между собой, далеко отстоящие друг от друга области математики, такие, как алгебры КацаМуди, римановы поверхности и пространства Тейхмюллера, модулярные группы и даже теория группы «монстр».
Величайший парадокс теории струн, однако, состоит в том, что сама она не является единой. Тому, кто впервые изучает эту теорию, она часто представляется удручающим набором легенд и исторических анекдотов, взятых с потолка рецептов и интуитивных допущений. Порой кажется, что нет никакого смысла во многих допущениях модели. Для теории, претендующей на воплощение единого подхода к описанию всех законов физики, то, что сама она выглядит столь разобщенной, кажется издевательской насмешкой судьбы!
Секреты модели на ее наиболее фундаментальном уровне остаются пока непознанными.
Обычно при формулировании какой-нибудь квантовой теории мы начинаем с ее геометрии или симметрии и затем выписываем действие. Из действия, в свою очередь, мы выводим все предсказания модели,
14 Гл. 1. Континуальные интегралы и точечные частицы
включая унитарную S-матрицу. Так, вторичное квантование действия является обычным способом формулировки любой квантовой теории поля. Подлинная причина того, что теория суперструн порой выглядит как неупорядоченный набор кажущихся случайными допущений и произвольных условностей, состоит в том, что она обычно формулируется как первично квантованная теория. Поэтому приходится прибегать к интуиции и традиционным рецептам, почерпнутым из физического фольклора, чтобы построить все фейнмановские диаграммы, необходимые для унитарной теории.
К несчастью, вторично квантованное действие и геометрия суперструны относятся к завершающим характеристикам разрабатываемой модели. Действительно, как явствует из этой перспективы, интересующая нас модель в течение последних двадцати лет разрабатывалась в обратном направлении, начиная со случайного открытия ее квантовой теории в 1968 году!
Напротив, когда Эйнштейн впервые открыл общую теорию относительности, он начал с физических принципов, таких, как принцип эквивалентности гравитационной и инерциальной масс, и сформулировал его на языке общей ковариантности. После того как геометрия была найдена, он выписал действие как единственное решение задачи. Позднее были найдены классические решения уравнений в формализме искривленных многообразий, дающие первые удачные модели поведения Вселенной в космологических масштабах. Наконец, последним шагом в развитии ОТО была разработка квантовой теории гравитации. Решающие этапы исторического развития ОТО можно поэтому представить следующей схемой:
Геометрия Действие Классическая теорий Квантовая теория.
Кроме того, и ОТО, и теория Янга-Миллса-это зрелые теории: обе они могут быть сформулированы на основании аксиом, выделяющих геометрические и физические допущения, служащие фундаментом каждой из них. Теория суперструн только начинает вступать в эту стадию развития.
Замечательно, что теория Янга-Миллса и теория гравитации представляют собой единственное решение, удовлетворяющее двум простым геометрическим требованиям:
(1)Глобальная симметрия Свободная теория должна описывать распространение «чистых»,
свободных от духов полей со спинами 1 и 2, преобразующихся как неприводимые представления группы SU(N) и группы Лоренца.
(2)Локальная симметрия Теория должна быть локально инвариантной относительно преобра-
зований группы SU(N) и общековариантной.
Замечательно, что совместное действие теории Янга-Миллса и теории гравитации является единственным решением, удовлетворяю-
|
§ 1.1. Для чего струны |
15 |
щим этим двум простым аксиомам: |
|
|
L=~- |
- J L J — g ^ - |
O-l-U |
(Первая аксиома содержит в себе реальную физическую сущность теории и не может быть включена в формулировку второй аксиомы. Есть бесконечно много общековариантных и 8и(ЛГ)-симметричных инвариантов, так что нам необходима первая аксиома, чтобы включить в теорию физические соображения и выбрать неприводимые представления базисных полей. Под «чистыми» полями мы понимаем свободные от духов поля, имеющие самое большее две производные, что исключает теории R2 и F4, содержащие производные высших порядков.)
Возникает вопрос: что соответствует этим двум аксиомам в теории суперструн? Предстоит большая работа, чтобы сделать возможной чисто геометрическую формулировку теории струн, но наиболее многообещающая попытка это сделать представлена в гл. 8, где обсуждается геометрическая формулировка полевой теории струн.
Порядок изложения в этой книге, конечно, должен отражать тот факт, что теория развивалась в обратном направлении. По причинам педагогического характера мы в основном будем следовать историческому развитию теории. Поэтому часть I, в которой вводится теория, возникающая из первичного квантования, будет порой производить впечатление неупорядоченного набора условных допущений, отбор которых производился без всяких руководящих принципов. По этой причине мы предпочли в части I особо подчеркнуть подход к теории струн с помощью континуальных интегралов или функционалов. Только фейнмановские континуальные интегралы дают нам формализм, позволяющий вывести другие формализмы, например формализм гармонических осцилляторов. Хотя этот подход к квантовой механике по-прежнему весьма неуклюж по сравнению с истинно вторичным квантованием, но это самый удобный формализм для того, чтобы свести концы с концами в теории первичного квантования.
В части II настоящей книги мы обсудим собственно теорию поля, из которой можно вывести все результаты теории, исходя из одного действия. Однако мы снова будем следовать истории развития теории и представим теорию поля от результатов к основам. Мы начнем с теории нарушения симметрии, а затем опишем возможный вариант геометрической теории.
Наконец, в части III будет изложена «феноменология» струн. Хотя, может быть, слишком самонадеянно пока описывать феноменологию, начиная с энергий 1019 ГэВ, важно установить, какого рода предсказания дает эта теория.
Однако чтобы действительно оценить достижения и возможные недостатки теории суперструн, нам следует попытаться понять исторические затруднения, преследовавшие физиков в течение последних пяти десятилетий. Поэтому обратимся теперь к краткому обзору
16 Гл. 1. Континуальные интегралы и точечные частицы
развития калибровочных теорий, чтобы можно было оценить трудность построения конечной теории гравитации. Мы также вкратце обрисуем историю развития теории суперструн.
§1.2. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР КАЛИБРОВОЧНОЙ ТЕОРИИ
Вшестидесятые годы казалось, что физика элементарных частиц беспомощно барахтается, запутавшись во множестве частных теорий. Каждый вид фундаментальных взаимодействий - слабое, электромагнитное, сильное и гравитационное-изучался отдельно, почти независимо от других. Кроме того, исследования всех этих взаимодействий натолкнулись на фундаментальные трудности:
(1)Слабые взаимодействия. Теоретические модели этих сил добавили разочаровывающе мало к теории Ферми, впервые предложенной тремя десятилетиями ранее в тридцатых годах:
(1.2.1)
где ГА представляет различные комбинации матриц Дирака. Следующий крупный шаг, теория Ж-бозонов, страдал от расходимостей. Кроме того, никто не знал, какая симметрия объединяет лептоны
и есть ли она вообще.
(2)Сильные взаимодействия. В отличие от слабых взаимодействий, теория мезонов Юкавы дает перенормируемую теорию сильных взаимодействий:
(1.2.2)
Однако теория Юкавы не могла объяснить лавину «элементарных» частиц, без конца открываемых в экспериментах на ускорителях. Роберт Оппенгеймер даже предложил, чтобы Нобелевская премия по физике была присуждена тому физику, который не открыл в этом году новой частицы. Кроме того, модель кварков, которая, кажется, объясняет данные намного лучше, чем это можно каким-либо разумным образом понять, страдает от того факта, что кварки никогда не были обнаружены экспериментально.
(3)Сила тяготения. Изучение гравитационных сил было совершенно не связано с исследованиями других взаимодействий. Классический релятивистский подход позволял находить все новые классические решения независимо от физики элементарных частиц. Попытки канонически квантовать эту теорию были блокированы ее огромной избыточностью. Обескураживало также ощущение, что если даже теорию гравитации удастся успешно проквантовать, она все равно окажется неперенормируемой.
Этот унылый пейзаж драматически изменился в начале семидесятых годов с приходом «калибровочной революции». Одно из крупнейших
§ 1.2. Исторический обзор калибровочной теории |
17 |
достижений последних пятнадцати лет-разработка полностью перенормируемой теории калибровочных частиц со спином 1, в которой физикам впервые удалось действительно вычислить реалистичные значения элементов S-матрицы. Итак, потребовалось более 100 лет, чтобы продвинуться дальше исходной калибровочной теории, предложенной Максвеллом в 60-х годах прошлого века! (См. в приложении элементарное введение в калибровочные теории и теорию групп.)
Очевидно, что ключом к устранению расходимостей релятивистской квантовой механики должны служить более обширные и более сложно устроенные группы калибровочных преобразований. Симметрия перестает быть лишь эстетическим достоинством конкретной модели и становится ее наиболее важной чертой.
Например, уравнения Максвелла, ставшие первым объединением электрической и магнитной сил, имели калибровочную группу U(l). Объединение слабого и электромагнитного взаимодействий в электрослабое требует группы SU(2)®U(1). Силы, связывающие кварки в адроны, или квантовая хромодинамика (КХД), основаны на группе SU(3). Вся физика элементарных частиц в действительности совместима с минимальной теорией, обладающей симметрией SU(3) ® SU(2) ® U(l).
Хотя в отношении теорий Великого объединения (ТВО), которые, как предполагается, должны объединить электрослабое и сильное взаимодействия, вердикт еще не вынесен, но снова можно ожидать, что решение состоит в калибровочной симметрии; предлагаются группы SU(5), 0(10) и другие.
Хотя калибровочная революция является одним из важнейших достижений за целые десятилетия, ее все же недостаточно. Растет понимание того, что теория Янга-Миллса сама по себе не может продвинуть наше понимание физической природы Вселенной дальше нынешнего уровня. Дело не только в том, что различные ТВО не могут объяснить важные физические явления, но и в том, что есть настоятельная необходимость сформулировать квантовую теорию гравитации.
Прежде всего, необходимо заметить, что теории Великого объединения не могут быть последним словом в построении единой теории всех взаимодействий. ТВО обладают несколькими особенностями, по-преж- нему оставляющими без удовлетворительного ответа важные вопросы. Они перечислены ниже.
(1)ТВО не могут объяснить, почему существуют три почти точные копии, или семейства, элементарных частиц. Мы по-прежнему не можем ответить на вопрос Рэби: «Кто заказал мюон?»
(2)ТВО все еще содержат около 20 произвольных параметров. Они не могут, например, вычислить массы кварков или различные константы теории Юкавы. Действительно, единая теория поля должна иметь самое большее один произвольный параметр.
(3)ТВО встречают трудности при решении проблемы иерархии. Если не прибегать к суперсимметрии, трудно сделать так, чтобы физика
2-787
18 Гл. 1. Континуальные интегралы и точечные частицы
частиц с невероятно большими массами не смешивалась с обычным диапазоном энергий, что привело бы к разрушению иерархии.
(4) Объединение межчастичных взаимодействий происходит на расстояниях порядка 10"28 см, что очень близко к планковской длине 10"33 см, где можно ожидать преобладания гравитационных эффектов. Однако ТВО вообще никак не учитывают гравитации.
(5)До сих пор не удалось получить достоверных данных о распаде протона, что уже исключило минимальную группу симметрии SU(5). Тем самым нет экспериментальных подтверждений необходимости вводить такого рода теорию.
(6)Трудно поверить, что между доступными на сегодняшний день энергиями и масштабами, на которых происходит объединение, не будут обнаружены новые взаимодействия. Эта «пустыня» может оказаться полным-полна новыми взаимодействиями, пока нам неизвестными.
Сточки зрения фундаментальной науки, из всех этих проблем самая трудная и важная - найти способ квантования общей теории относительности Эйнштейна. Хотя теория Янга-Миллса добилась впечатляющих успехов в объединении известных законов физики элементарных частиц, законы тяготения удивительно отличаются от них на фундаментальном уровне. Ясно, что теория Янга-Миллса и обычная калибровочная теория неспособны справиться с этой проблемой. Итак, ТВО сталкиваются с серьезными экспериментальными и теоретическими трудностями при попытках расширить границы их применимости.
Общая теория относительности также наталкивается на подобные трудности при приближении к границам ее применимости. Они таковы.
(1)Классический подход установил, что решения уравнений Эйнштейна с необходимостью включают точечные сингулярности, в которых законы ОТО должны нарушаться. В этой области квантовые поправки должны доминировать над классической теорией.
(2)Действие не ограничено снизу, поскольку оно линейно зависит от тензора кривизны. Поэтому оно не может быть квантовомеханически устойчивым.
(3)Общая теория относительности не является перенормируемой.
Компьютерные вычисления, например, однозначно показали, что в теории Эйнштейна существует ненулевой контрчлен на двухпетлевом уровне.
Наивные попытки квантовать эйнштейнову теорию тяготения окончились обескураживающей неудачей. Одним из первых, кто указал на несовместимость общей теории относительности с квантовой механикой, был Гейзенберг, заметивший, что наличие размерной константы взаимодействия делает неосуществимой обычную процедуру перенормировки.
|
§ 1.2. Исторический обзор калибровочной теории |
19 |
Если положить |
|
|
^ = 1 ; |
с = 1 , |
(1.2.3) |
2 к |
|
|
то все равно даже в ньютоновской теории тяготения сохранится размерная константа, а именно гравитационная постоянная G:
т1 т2 |
(1.2.4) |
F — G ——-. |
|
Ее размерность равна квадратному сантиметру. |
При разложении |
в степенной ряд метрического тензора д в б л и з и плоского пространства
с метрикой г|цу = (—Ь + + ) мы вводим константу |
взаимодействия х, |
имеющую размерность сантиметра: |
|
Поэтому |
|
G ~ x 2 . |
(1.2.6) |
В этой системе единиц, где единственной единицей является сантиметр, константа взаимодействия х становится планковской длиной, 10"33 см, или 1019 ГэВ, что лежит далеко за пределами возможностей эксперимента!
Теория перенормировок, однако, основана на фундаментальном допущении о возможности устранить все расходимости посредством бесконечного переопределения некоторых констант. Наличие размерной константы взаимодействия означает, что эта сложная перетасовка и повторное суммирование графов становятся невозможны. В отличие от обычных перенормируемых теорий, в квантовой гравитации невозможно складывать диаграммы с разными степенями константы взаимодействия. Это означает, что общая теория относительности не может быть перенормируемой теорией. Амплитуда рассеяния для пары гравитон-гравитон, например, является теперь степенным рядом по степеням размерного параметра (см. рис. 1.3):
(1.2.7)
п — 2
Здесь мы уже не можем перетасовывать графы с разными значениями и, чтобы расходимости сократились, а в этом вся суть теории перенормировок. Поэтому теория перенормировок не работает.
Поскольку безнадежно пытаться втиснуть ОТО в рамки обычной теории перенормировок, необходимо заново рассмотреть принципиальное возражение Дирака против таких теорий. Именно Дирак заметил, что успех квантовой механики был основан на приближенных схемах, в которых каждый новый поправочный член был мал по сравнению
2*