Kaku_M._Vvedenie_v_teoriju_superstrun
.pdf50 |
Гл. 1. |
Континуальные интегралы и точечные |
частицы |
через гармонические осцилляторы: |
|
||
р = |
(\т<й)т{а |
+ а\ |
|
х = i(2m(o)~ 1/2(а — яt ). |
(1.8.3) |
||
Здесь |
|
|
|
к = тсо2. |
|
(1.8.4) |
|
Чтобы удовлетворялось каноническое коммутационное соотношение
(1.8.2), должно |
выполняться |
|
[я, я+] = 1. |
|
(1.8.5) |
Подставляя это выражение в гамильтониан, находим |
|
|
Н = ]-(о(аа + |
а). |
(1.8.6) |
Выделяя член с очислом, можно записать это выражение в нормально упорядоченном виде
Я = со(я+я + Ы |
(1.8.7) |
где h 0 - энергия нулевой точки. Теперь можно ввести гильбертово пространство гармонических осцилляторов. Определим вакуум выражением
я|0> = 0. |
(1.8.8) |
Тогда элемент фоковского пространства для гамильтониана гармонического осциллятора дается выражением
/п! |
(1.8.9) |
|
|
и состояния образуют ортонормированный базис: |
|
(п\т) = 8пт. |
(1.8.10) |
Энергия системы квантована и дается выражением |
|
Ея = (п + \) со. |
(1.8.11) |
Пока что система была представлена лишь в формализме первичного квантования. Мы квантовали каждый раз только одну точечную частицу. Теперь мы хотим перейти к волновой функции вторичного квантования, введя
| Ф > = £ Ф » , |
(1.8.12) |
п — О |
|
§ 1.8. Гармонические осцилляторы |
51 |
где выполнено разложение в степенной ряд по основным состояниям гармонического осциллятора. Так, вместо описания одиночного возбужденного состояния точечной частицы мы вводим теперь волновую функцию, которая будет суперпозицией произвольного числа возбужденных состояний.
Дадим важное определение |
|
<х|Ф> = Ф(х). |
(1.8.13) |
Это выражение можно вычислить в явном виде. Заметим, что теперь у нас есть два независимых набора основных состояний, а именно основные состояния гармонического осциллятора |«> и собственные векторы положения |л;>. Теперь нужно вычислить способ перехода от одного из этих базисов к другому и обратно.
Для начала исследуем простейший матричный элемент: |
|
о0(х) = х |0>. |
(1.8.14) |
Этот матричный элемент удовлетворяет уравнению |
|
О = <лг|а|0> |
|
у/2т(о |
|
= (2 тсо)~1/2 ^ - Yx - imwx^ < л: 10> |
|
= - / ( 2 m c o ) - 1 / 2 ^ + m c o ^ a 0 W . |
(1.8.15) |
Последнее из этих уравнений можно решить точно: |
|
о0(х) = (тсо/я)1/4е-1/2^2, |
(1.8.16) |
где |
|
£ = (тсо)1/2л:. |
(1.8.17) |
Теперь можно непосредственно вычислить все такие матричные элементы. Пусть
ап(х) = (х\п)
(x\(n!)-ll2Jn\0)
= («/)" 1/2(2mco)~n(1/2) х\[р + imcoxY \ 0>
= |
(«/)"1/2(2mco)-(1/2)n(-+ imcoxj |
о0(х). |
(1.8.18) |
Поэтому решением служит |
|
|
|
оп(х) = |
Г(2пп!у1,2(т(о/к)114(^ - -j^j |
e~mV. |
(1.8.19) |
4*
52 Гл. 1. Континуальные интегралы и точечные частицы
Вобщем случае эта формула выражает не что иное, как многочлены Эрмита #„. С их помощью можно выразить друг через друга собствен-
ные состояния \х} и базисные векторы \п>:
|
00 |
00 |
|
l * > = |
I 1«><«1*>= |
I I «><*„(*), |
|
|
и=1 |
п=1 |
|
| п) = |
\x)\dx(x\n) = \dxan{x) |х>. |
(1.8.20) |
|
Итак, используя (1.8.12) и (1.8.20), мы получаем степенное разложение волновой функции по полному набору ортогональных многочленов, а именно по многочленам Эрмита:
Ф(х) = <х|Ф> = <*| | ф„|и>= |
| ФпНп(£,)е-°/2*2. |
(1.8.21) |
п=1 |
п = 1 |
|
Подобным образом нетрудно вычислить функцию Грина для распространения точечной частицы в поле потенциала гармонического осциллятора. Функция Грина была бы той же, если бы мы начали в рамках формализма вторичного квантования с действием
L = 9(x)*(idt + ^ V2 - ^кх2^Ф(х). |
(1.8.22) |
Из этого вторично квантованного действия мы можем поэтому получить уравнения движения:
i d M x ' t ) = \ _ 2 + |
к х 2 ] Ф { х > t ] |
= НФ(х, t). |
(1.8.23) |
Отсюда можно определить канонические импульсы, сопряженные Ф(л;, /), такие, что удовлетворяются канонические квантовые соотношения
[П(х, /),Ф(*\ г)] = ~ |
- *'). |
(1.8.24) |
§ 1.9. ТОКИ И ВТОРИЧНОЕ КВАНТОВАНИЕ
Начнем с обсуждения релятивистской теории вторичного квантования, которая, как мы видели, в рамках теории возмущений эквивалентна первично квантованной теории. При квантовании точечной частицы в формализме Гупты-Блейлера мы пришли к уравнениям движения
[• — т 2 ] ф = 0, |
(1.9.1) |
которые можно вывести из вторично квантованного действия |
|
L = i [ ^ c p + m2(p2]. |
(1.9.2) |
Одним из наиболее мощных методов, которые мы использовали при
§ 1.9. Токи и вторичное квантование |
53 |
изучении теории первичного квантования, была симметрия. Теперь нам хотелось бы рассмотреть симметрии, возникающие в рамках формализма вторичного квантования.
Сначала вычислим уравнения движения, проварьировав поле и потребовав, чтобы действие при такой вариации было стационарным:
5S = 0 = |
'ЬЬ 0 |
5L |
(1.9.3) |
— 5ф ++ ^ Ч . Ф ). |
|||
|
чбф |
|
|
Проинтегрируем по частям, используя
Если временно пренебречь поверхностным членом, то действие будет стационарным при выполнении следующего уравнения движения:
5L |
5L |
|
|
5ф = |
(1.9.5) |
Подстановка лагранжиана в это уравнение дает уравнения движения, воспроизводящие найденное ранее ограничение для формализма первичного квантования.
Сделаем теперь небольшое изменение полей, параметризованное малым, но пока не определенным числом еа:
8ф = 0 5 в а . |
(1.9.6) |
Если подставить это выражение в предыдущее уравнение для вариации действия, сохраняя поверхностный член неизменным и предполагая выполненными уравнения движения, то получим следующее уравнение:
Определим тензор в скобках как ток:
^ |
5L 5ф |
1 9 8 |
|
5дцф5еа' |
|
Тогда мы получаем важное уравнение |
|
|
8S = |
|
(1.9.9) |
Так, если действие S стационарно при этой вариации, то мы получаем сохраняющийся ток
д ^ а = 0. |
(1.9.10) |
Мы будем использовать это уравнение снова и снова при обсуждении струн, когда нам понадобится найти ток для суперсимметрии и кон-
54 Гл. 1. Континуальные интегралы и точечные частицы
формной инвариантности. Наконец мы заметим, что суммарный заряд Qa, связанный с током, постоянен во времени:
jcfxd^ = jdD~1xd0Joa + поверхностный член. |
(1.9.11) |
Так, |
|
<? = j<p-ixja0,
(1.9.12)
иdt
Наконец, мы хотим построить еще один сохраняющийся ток, связанный с действием. Сделаем небольшую вариацию пространственновременной переменной:
= |
(1.9.13) |
При этом изменении элемент объема в интервале меняется так:
bdDx = cf)xdvbx*. |
(1.9.14) |
||
Следовательно, вариация действия при этом изменении равна |
|||
5S = \(Рх |
|
4- 5L], |
|
|
|
|
(1.9.15) |
5L= 5 |
u |
5 L |
5L |
|
L+ — 5ф + ——5д„ф. |
||
|
|
Оф |
Од^ф ^ |
Если теперь предположить, что уравнения движения удовлетворены, то получим
5S = K 4 i { ( + L5v - J^a v<p)&cv } • |
(1.9.16) |
|
Если мы теперь определим тензор энергии-импульса как |
|
|
ТцV = 5L |
- ЛцуL, |
(1.9.17) |
то получим уравнение |
|
|
bS = $dDxdil(T^bxv). |
(1.9.18) |
|
Так что если действие не изменяется при данном изменении простран- ственно-временной переменной, то тензор энергии-импульса сохраняется:
д ^ = 0 . |
(1.9.19) |
Например, для действия скалярной частицы тензор энергии-импульса принимает вид
ТцV = дцфдуф - Лцу^; |
(1.9.20) |
§ 1.9. Токи и вторичное квантование |
55 |
эта величина сохраняется, если уравнения движения удовлетворены. Наконец, поучительно рассмотреть, как различные процедуры кван-
тования применяются к полю Янга-Миллса (см. приложение). Начнем с SUC/NO-инвариантного действия:
|
|
(1.9.21) |
где |
|
|
F ;v = |
d,Aav-dvA;-rb<A*Acv. |
(1.9.22) |
Это действие инвариантно относительно |
|
|
5А ; = |
-fabcAlA\ |
(1.9.23) |
где Л°-калибровочный параметр. |
|
|
Метод континуального интеграла начинает с функционала |
|
|
(1.9.24)
№
Теперь рассмотрим три метода квантования.
Кулоновское квантование
Калибровочная инвариантность позволяет выбрать калибровку
Мы можем проинтегрировать по компоненте А0, поскольку она не содержит производных по времени, так что кулоновская формулировка с очевидностью свободна от духов. (Цена, которую приходится за это платить, это, конечно, отсутствие явной лоренц-инвариантности, которую нужно проверять вручную.) В этой калибровке действие принимает вид
L= + 1-(д0А°)2 —]-(Faij)2 + ..., |
(1.9.25) |
где все поля являются поперечными. Это каноническая форма лагранжиана.
Квантование ГуптыБлейлера
Формулировка Групты-Блейлера обладает тем преимуществом, что мы можем сохранить явную лоренц-инвариантность, не нарушая унитарности. Например, возьмем калибровку
д ^ а = 0. |
(1.9.26) |
В этой калибровке пропагатор безмассовых векторных частиц принима-
56 Гл. 1. Континуальные интегралы и точечные частицы
ет вид
(1.9.27)
Заметим, что этот пропагатор в явном виде содержит дух. Времениподобное возбуждение обладает коэффициентом — 1 в пропагаторе, что соответствует духу. Однако мы можем осуществить квантование в этом ковариантном подходе, поскольку мы наложим устраняющую духи связь на гильбертово пространство:
<Ф | |
11|/> = 0. |
(1.9.28) |
Эта связь позволяет разрешить его относительно духовых мод и тем самым устранить их. Итак, хотя свободный пропагатор допускает распространение духов, но гильбертово пространство свободно от духов, так что сама теория одновременно и лоренц-инвариантна, и свободна от духов.
Квантование BRST
Подход BRST начинается с вычисления детерминанта ФаддееваПопова (1.6.10). Вычислим определитель следующей матрицы:
§ ( У Г ( * )
М=
ц5Аь(у)
= |
(54 (л; — у) ЪаЬ). |
(1.9.29) |
Как и выше, можно записать определитель матрицы АаЪ, включив его в действие с помощью (1.6.10):
L= — \F% + ^(VO2 + caMabcb. |
(1.9.30) |
Здесь антикоммутирующие духовые поля Фаддеева-Попова представлены величинами с и с. Это действие инвариантно относительно следующего преобразования BRST:
5 4 = ( V r s ,
дса = -X-fabdcbcd s, |
(1.9.31) |
5с° = а- ( О Н 8.
Опять же важно заметить, что преобразование BRST является ниль-
|
|
« |
|
§ |
1.10. |
Резюме |
57 |
тентным. Симметрия BRST |
не |
связана с сохранением |
каких-либо |
П блюдаемых величин. Для этой симметрии мы можем найти генератор
^этого преобразования, |
такой что |
= 0. |
(1.9.32) |
физические состояния рассматриваемой теории тогда удовлетворяют условию
Q | физ) = 0. |
(1.9.33) |
§ 1.10. РЕЗЮМЕ
Самый большой парадокс теории струн, которая призвана обеспечить единый подход ко всем известным взаимодействиям, состоит в том, что сама эта теория столь неупорядоченна. Она часто вызывает разочарование у начинающих ее изучать, поскольку в ней очень много исторических традиций, условностей и произвольных правил игры, не имеющих идейного обоснования. Важнейшая причина такого положения-то, что теория струн исторически развивалась в обратном направлении как первично квантованная теория, а не как вторично квантованная теория, в которой все соотношения определяются через фундаментальную ве- личину-действие. Недостатки подхода первичного квантования следующие:
(1)Взаимодействия приходится вводить вручную. Их нельзя вывести из одного действия.
(2)Унитарность в этом подходе не очевидна. Подсчет диаграмм требует трудоемкой проверки.
(3)Формулировка проводится в рамках теории возмущений, так что важнейшие непертурбативные вычисления, вроде размерной редукции, неосуществимы.
(4)Теория формулируется только на массовой поверхности.
Напротив, преимущества подхода вторичного квантования состоят именно в том, что все может быть выведено из единственного действия, определенного вне массовой поверхности, что унитарность обеспечивается явным образом и что непертурбативные вычисления в принципе могут быть выполнены.
К сожалению, теория струн исторически развивалась как теория первичного квантования. Поэтому она строилась в обратном направлении, и геометрическая теория вторичного квантования все еще находится в младенческом возрасте. По причинам педагогического характера мы ввели теорию струн с квазиисторической точки зрения, начав с теории первичного квантования и затем развив теорию вторичного квантования и изложив геометрические факты, лежащие в ее основе. Мы надеемся, что в будущем эту последовательность изложения удастся обратить.
Чтобы по возможности снизить масштабы произвола при построе-
58 |
Гл. 1. Континуальные интегралы и точечные частицы |
нии теории первичного квантования, в этой главе мы попытались заложить основы теории струн в формализме континуального интеграла. Этот функциональный формализм обладает огромным преимуще~ ством-возможностью выражать калибровочные теории первичного и вторичного квантования с одинаковой легкостью. Мы находим, фактически, что значительную часть теории точечных частиц в формулировке континуального интеграла можно целиком включить в теорию струн.
Метод континуального интеграла постулирует два основополагающих принципа, выражающих сущность квантовой механики:
(1)Вероятность Р(а, Ь) того, что частица переместится из точки а в точку Ъ, дается квадратом модуля функции перехода К (а, Ь)\
Р{а,Ь) |
= |
\К{а,Ь)\2. |
|
(2) Функция |
перехода задается суммой фазовых множителей elS, где |
||
S есть действие, взятой по всем возможным путям, ведущим из а и Ь: |
|||
К (а, |
Ь)= £ |
keiS- |
|
|
|
пути |
|
В пределе непрерывных путей (траекторий) получаем |
|||
|
|
ь |
|
К (a, |
b) = lDxeiS, |
||
где |
|
а |
|
|
|
|
|
Dx = |
lim |
3 |
N |
П |
П dxitH. |
||
|
N->ooi=ln=l |
||
Действие S первично квантованной точечной частицы дается длиной траектории, прочерчиваемой частицей в пространстве-времени. Лагранжиан для точечной частицы можно представить тремя способами:
Форма 1-го порядка (гамильтонова): L = р^ЗР — Х-е(р\ 4- т2 ),
Форма 2-го порядка: L = ]-(e~lxl — ет2),
(1-10.1)
Нелинейная форма: L = — m j —
К сожалению, из-за того, что все эти три формы действия параметризационно инвариантны, континуальный интеграл расходится. Поэтому процедура квантования должна разрушить эту калибровочную симметрию и дать правильную меру для функционала.
Эти формы действия можно квантовать тремя разными способами, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки. Вот эти способы.
(1) Кулоновское квантование Явным образом зафиксировав значение некоторых полей, например
§ 1.10. Резюме |
59 |
положив
Xoszt=zX'
jrtbi можем устранить мешающие нам состояния с отрицательной м е т р и к о й , и лагранжиан примет вид mvf. Кулоновское квантование
поэтому явно свободно от духов. Однако недостаток этого методато, что он очень неудобен, поскольку явная лоренц-инвариантность разрушается и должна быть проверена на каждом уровне.
(2)Квантование Гупты-Блейлера Преимущество метода квантования ГуптыБлейлера состоит в том,
что мы получаем явно ковариантную программу квантования. Конечно, теперь духи с отрицательной метрикой могут свободно циркулировать по теории, но они в конечном итоге устраняются наложением калибровочных условий непосредственно на гильбертово пространство:
[/и + т2 ]|ф> = 0.
Так, S-матрица в конце концов оказывается свободной от духов. Недостаток этого подхода, однако, в том, что наложение этих калибровочных условий, особенно на уровне взаимодействий, часто весьма затруднительно.
(3) BRST-квантование
Этот метод квантования сохраняет достоинства обоих предыдущих. Теория является явно ковариантной, но S-матрица по-прежнему унитарна, поскольку добавление к теории духовых полей в точности компенсирует сокращающиеся с ними состояния с отрицательной метрикой. Метод BRST налагает калибровку е = 1 в форме первого порядка и затем вставляет член ФаддееваПопова ДРР в функционал, чтобы получить правильную меру. Можно ввести этот определитель в действие в экспоненциальной форме, использовав грассмановы переменные:
Арр = det | | =
Полученное действие с фиксированной калибровкой обладает остаточной симметрией, которая порождается BRST-зарядом а. (Эта новая симметрия не приводит к устранению каких-либо новых полей.)
При обобщении этих методов на случай взаимодействий формулировка континуального интеграла начинается с основополагающей формулы для функции перехода N-частичного рассеяния:
A(k1,k2.-..kN)= Z gn$DxAFP
топологии
х exp jifAL(f) + i £ fc^j = YSDx(e-lMr> • (1.10.2)