1.3 Случайные величины с непрерывным распределением

Случайная величина называется непрерывной (случайной величиной с непрерывным распределением), если множество ее возможных значений является промежутком на числовой оси (или вся числовая ось в частном случае) и ее функцию распределении можно представить в виде:

(1.5)

Подынтегральная функция называется плотностью распределения вероятностей, или дифференциальной функцией распределения случайной величины .

Свойства плотности распределения :

1) в точках непрерывности функции ;

2) – условие нормировки; (1.6)

3. плотность распределения неотрицательна: ;

4. вероятность попадания в заданный интервал определяется либо по формуле (1.2) через функцию распределения, либо по формуле

(1.7)

Функция распределения непрерывной случайной величины является непрерывной монотонно возрастающей функцией на всей оси.

В отличие от случайных величин дискретного типа для случайной величины с непрерывным распределением вероятность события ( ) равна нулю: Это означает, что для случайной величины с непрерывным распределением неравенства в левой части (1.7) могут быть как строгими, так и нестрогими.

Понятие независимости случайных величин связано с распределением многомерного случайного вектора [2, 7]. По сути, это понятие аналогично ранее введенным понятиям независимости случайных событий и испытаний [2, 8].

Так, две случайные величины и называются независимыми, если для любых вещественных чисел события и являются независимыми, т.е.

.

Отсюда , где – функции распределения случайных величин и соответственно.

Пример 1.3

Плотность распределения случайной величины задана функцией

.

Найти: 1) параметр , 2) функцию распределения , 3) вероятность , 4) построить графики функций и .

Решение

1) Параметр находим из свойства нормировки плотности распределения (1.6):

.

Тогда

2) Функцию распределения находим по формуле (1.5):

а)

б)

в) .

Итак, функция распределения имеет вид

.

3) Вероятность найдем по формуле (1.2):

4) Графики функции распределения и плотности распределения представлены на рис. 3, 4.

Ответ: 1) =2/9; 2) ;

3) =4/9; 4) Рис. 3,4.

1.4 Числовые характеристики случайных величин

Функция распределения полностью характеризует случайную величину . При решении многих практических задач бывает достаточно знать числовые характеристики, которые дают сжатое и наглядное представление о случайной величине. К ним относятся в первую очередь характеристики положения: математическое ожидание, мода, медиана и характеристики рассеивания: дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

1. Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины (с.в.), определяемое по формулам

. (1.8)

Если множество возможных значений счетно, то в определении (1.8) ряд должен быть сходящимся. Несобственный интеграл в определении (1.8) должен быть абсолютно сходящимся. В противном случае случайная величина не имеет математического ожидания.