Решение игры 2×2

Покажем на примере платёжной матрицы размерностью 2×2 реализацию алгоритма построения оптимального решения игровой задачи в смешанных стратегиях.

ПРИМЕР №3. Найдем решение матричной игры V_* = -1, V* = 1, V_* ≠V* - решения в чистых стратегиях не существует. Припишем строкам платёжной матрицы неизвестные вероятности p₁ и p₂ (вероятности выбора стратегий A₁ и A₂) соответственно: . Поскольку p₁ + p₂ =1 → p₂ = 1 - p₁. Обозначим p₁ = p, тогда p₂ =1 - p. В результате получим: Умножим столбец поэлементно на 1-й столбец и, сложив произведения, получим - математическое ожидание (среднее значение) выигрыша первого игрока A, при условии, что второй игрок B следует первой стратегии. M₁(p) = 1∙p + (-1)(1-p) = 2p-1 Умножим столбец поэлементно на 2-й столбец и, сложив произведения, получим линейную зависимость - математическое ожидание (средний выигрыш) игрока A при применении игроком B второй стратегии M₂(p) = (-1)∙p + 1(1-p) = -2p+1 Поскольку мы разыскиваем оптимальное решение первого игрока A, которое не должно зависеть от выбора стратегий вторым игроком B, приравняем полученные зависимости средних выигрышей: 2p-1 = -2p+1 Отсюда, p= ½, 1-p = ½, то есть оптимальная смешанная стратегия игрока A - это P = (½, ½ ) (каждую из стратегий надо применять с относительной частотой ½). Подставив p=½ в любую из зависимостей M_i(p), i=1,2 найдем цену игры: V=M_i(½) = 0. Теперь припишем столбцам вероятности q₁ и q₂ соответственно, а поскольку: q₁ + q₂ =1 →q₂ = 1 - q₁. Обозначим q₁ = q, тогда q₂ =1 - q. В результате получим: . Умножив строку (q, 1-q) на 1-ю строку и сложив произведения, получим линейную зависимость - математическое ожидание: W₁(q) = 1· q + (-1) ·(1-q) = 2q - 1 Это средний выигрыш игрока A (равный проигрышу игрока B) при применении игроком A 1-й стратегии. Умножив строку (q, 1-q) на 2-ю строку и сложив произведения, получим линейную зависимость - математическое ожидание: W₂ = (-1) · q + 1· (1-q) = -2q + 1 Это средний выигрыш игрока A (равный проигрышу игрока B) при применении игроком A 2-й стратегии. Приравняем полученные зависимости: 2q -1 = -2q + 1 Отсюда, q = ½, 1 - q = ½, то есть оптимальная смешанная стратегия игрока B - это Q = (½, ½) (каждую из стратегий надо применять с относительной частотой ½). Решение о конкретном выборе одной из своих стратегий каждый из игроков может принимать с помощью подбрасывания монеты или бинарного датчика случайных чисел.

Как показывает приведённый пример, оптимальные смешанные стратегии сравнительно легко находятся для игр, имеющих небольшую размерность платёжной матрицы (небольшие m и n), т.е. для игр, в которых каждый из игроков имеет небольшое число стратегий. В то же время для игр, имеющих большую размерность, поиск решения становится достаточно сложным. Поэтому до построения оптимального решения в смешанных стратегиях проводят предварительный анализ платёжной матрицы на предмет её упрощения, исключения из неё дублирующих и доминируемых стратегий, что позволяет существенно упростить поиск решения игровой задачи в смешанных стратегиях.