Частотные динамические характеристики

дуль числителя разделить на модуль знаменателя, а из аргумента числителя вычесть аргумент знаменателя. Для первого и второго случаев будем иметь

W ( jω) =U (ω)+ jV (ω) = A(ω)exp(jψ(ω)),

где U – действительная часть, jV – мнимая часть,A(ω) – модуль, ψ(ω) –

аргумент.

Взаимосвязь между перечисленными переменными представлена графиком на рис. 4.

V(ω)

A(ω)

ψ(ω)

U(ω)

0

Рис. 4. Взаимосвязь составляющих АФЧХ

В ТАУ A(ω) называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ), ψ(ω) – фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).

АЧХ показывает, как изменяется амплитуда сигнала на каждой частоте при его прохождении через звено. АЧХ равна зависимости от частоты отношения амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала. При-

мер графика АЧХ представлен на рис. 5.

A(ω)

Коэффициент усиления

Рис. 5. Пример графика АЧХ

Косвенной характеристикой уровня колебательности системы служит

показатель колебательности

11

M=max A3(ω) / A3(0),

представляющий собой отношение максимального значения амплитудночастотной характеристики системы в замкнутом состоянии к значению этой характеристики при ω = 0.

Показатель колебательности наглядно иллюстрируется на рисунке 6.

Рис. 6. График модуля АЧХ замкнутой системы

Условно считается, что значение М=1,5-1,6 является оптимальным для промышленных САР, т.к. в этом случае величина перерегулирования обеспечивается в районе от 20 % до 40 %. При увеличении значения M колебательность в системе возрастает.

ФЧХ является зависимостью от частоты сдвига по фазе выходного сигнала по отношению к входному сигналу. Пример графика ФЧХ представлен на рис. 7.

Ψ(ω)

Рис. 7. Пример графика ФЧХ

Рассмотрим экспериментальное определение АЧХ и ФЧХ.

Пусть x и y являются входным и выходным сигналами звена, как показано на рис. 8.

Рис. 8. Модель исследования звена САУ

В соответствии с принятыми обозначениями и определениями

x = X sin(ωt), ψ =Y (ω)sin(ωt +ψ(ω)), 0 ≤ω < ∞.

12

Для различных значений частоты ω строятся графики АЧХ и ФЧХ по зависимостям. Чтобы определить по графику фазовый сдвиг φ, нужно найти расстояние t по оси времени между соответствующими точками синусоид (например, точками пересечения с осью t или вершинами). Если t умножить на частоту ω , получаем сдвиг фазы φ (в радианах):

A(ω) = Y (Xω) ,ψ (ω)=τ (ω) ω.

На рис. 9 представлены примеры графиков ФЧХ. По форме АЧХ различают несколько основных типов звеньев:

1)фильтр низких частот – пропускает низкочастотные сигналы примерно с одинаковым коэффициентом усиления, блокирует высокочастотные шумы и помехи;

2)фильтр высоких частот – пропускает высокочастотные сигналы, блокирует сигналы низкой частоты;

3)полосовой фильтр – пропускает только сигналы с частотами в поло-

в)

Рис. 9. Примеры графиков ФЧХ

Логарифмические характеристики динамических звеньев

Частотные характеристики достаточно сложно построить вручную. В 60-е годы прошлого столетия, т.е. в те времена, когда развивалась классическая теория управления, не было мощных компьютеров, поэтому наибольшую популярность приобрели приближенные методы, с помощью которых можно было

13