Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В

Функция y = f (x), для которой на отрезке [a;b] существует определен-

ный интеграл (3.9), называется интегрируемой на этом отрезке.

Можно показать, что для непрерывной на отрезке [a;b] функции y = f (x)

определенный интеграл существует.

Из определения следует, что определенный интеграл – это число. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования

3.2.3. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

b

Пусть в определенном интеграле ∫ f (x)dx нижний предел а зафиксиро-

a

ван (постоянен), а верхний b меняется. Тогда будет меняться и значение определенного интеграла, т.е. в этом случае определенный интеграл есть функция

верхнего предела.

Для того чтобы иметь привычные обозначения, верхний предел обозначим через х, а чтобы не смешивать его с переменной интегрирования, последнюю обозначим через t (от обозначения переменной интегрирования значение интеграла не зависит). Получим интеграл

x

∫ f (t )dt ,

a

который называется определенным интегралом с переменным верхним пределом.

3.2.4.Свойства определенного интеграла

1.Если нижний и верхний пределы определенного интеграла одинаковы, то он равен нулю

a

∫ f (x)d x = 0 .

a

2. При перемене местами пределов интегрирования знак у определенного интеграла изменяется

101

3.2.5. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Итак, значение определенного интеграла выражается разностью двух значений любой первообразной подынтегральной функции при x = b и при x = a .

Если ввести обозначение

F (b)− F (a)= F (x)ba ,

то формулу (3.14) можно записать в виде

b

∫ f (x)dx = F (x)ba = F (b)− F (a).

a

2

Пример 3.8. Вычислить интеграл ∫5x4dx .

1

Решение. Сначала найдем какую-нибудь первообразную для функции 5x4 , т.е. вычислим неопределенный интеграл ∫5x4dx , а потом применим формулу Ньютона-Лейбница

3.2.7. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Пусть u =u (x) и υ =υ(x) – функции, имеющие непрерывные производные на отрезке [a;b]. Для u =u (x) и υ =υ(x) имеет место равенство

(u υ)′ =u′ υ +u υ′.

Следовательно, функция u υ есть первообразная для непрерывной функции u′ υ +u υ′. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем

aa

Витоге получим формулу интегрирования по частям в определенном

интеграле

π

Пример 3.10. Вычислить интеграл ∫6 (2 − x)sin3xdx .

0

Решение.

105

у

y = f (x)

f (ci )

Рис. 3.5. Определение площади криволинейной трапеции

Для того, чтобы найти точное значение S, будем неограниченно увеличи-

вать число разбиений ( n → ∞), считая, что d = max xi →0 . Если площадь

i=1,...,n

ступенчатой фигуры Sn будет стремиться к конечному пределу, то этот предел считают равным площади S криволинейной трапеции

Таким образом, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

y = f (x)

Рис. 3.6. Вид криволинейной трапеции для функции y = f (x)< 0

Если плоская фигура ограничена сверху и снизу графиками функций y = f2 (x) и y = f1 (x) соответственно и прямыми x = a и x = b (рис. 3.7), то для

вычисления площади используется следующая формула:

Oy и непрерывной кривой x =ϕ(y)> 0 (рис. 3.8), то ее площадь находится по формуле

Если плоская фигура имеет «сложную форму» (рис. 3.9), то прямыми, параллельными оси Oy или Ox , ее следует разбить на части так, чтобы можно

было применить рассмотренные формулы: (3.20) – (3.23).

108

у

y = f2 (x)

S

y = f1 (x)

Рис. 3.7. Плоская фигура ограниченная сверху и снизу графиками функций y = f2 (x) и y = f1 (x)

у

d

x =ϕ(y)

S

с

Рис. 3.8. Криволинейная трапеция, ограниченная прямыми y = c и y = d , осью Oy и непрерывной кривой x =ϕ(y)

у

S2

S3

S1

Рис. 3.9. Плоская фигура «сложной формы»

109