Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В

3. Среди точек экстремума и значений на границах отрезка [a;b] находят наименьшее ( m = min f (x), x [a;b]) и наибольшее ( M = max f (x), x [a;b]). Эти значения и будут глобальными экстремумами.

Решение.

1. Найдем критические точки функцию. Сначала найдем ее производную

Теперь приравняем производную к нулю и найдем стационарные точки

5 x − 2

y′ = 3 3 x 3 = 0 .

Так как производная представляет собой дробь, то она равна нулю тогда, когда ее числитель равен нулю

Теперь найдем точки, в которых производная не существует. Для этого приравняем знаменатель дроби к нулю (так как на ноль делить нельзя)

81

M = y(0)= 0 .

2.10. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции

График кривой называется выпуклым на некотором интервале (a;b), если

он расположен под касательной, проведенной в произвольной точке этого интервала; в противном случае график кривой называется вогнутым (рис. 2.14).

Точкой перегиба функции y = f (x) называется такая точка графика

функции, которая разделяет интервалы выпуклости и вогнутости этого гра-

фика (рис. 2.14).

Рис. 2.14. Интервалы выпуклости, вогнутости графика функции и точка перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости находят с помощью следующей тео-

ремы.

82

Теорема 2.4 (достаточное условие выпуклости и вогнутости графика функции).

Если функция y = f (x) во всех точках интервала (a;b) имеет отрица-

тельную вторую производную, т.е. f ′′(x)< 0 , то график функции в этом ин-

тервале выпуклый. Если же во всех точках интервала (a;b) вторая производ-

ная положительна, т.е. f ′′(x) > 0 , то график функции вогнутый.

Для нахождения точек перегиба используется теорема:

Теорема 2.5 (достаточное условие существования точек перегиба).

В абсциссе точки перегиба вторая производная f ′′(x) функции y = f (x) обращается в ноль или не существует и меняет знак при переходе

через эту точку.

Точки, в которых f ′′(x) не существует или равна нулю называются кри-

тическими точками второго рода. Таким образом, точки перегиба следует искать среди критических точек второго рода.

Пример 2.8. Исследовать функцию y = x3 (рис. 2.10) на вогнутость и вы-

пуклость и найти точки перегиба.

Решение.

Найдем вторую производную функции y = x3

y′ =(x3 )′ =3x2 y′′ =(y′)′ =(3x2 )′ = 6x .

Теперь приравняем ее к нулю и найдем критические точки второго рода

y′′ = 6x = 0 x = 0 .

Точка x = 0 разбивает область определения функции y = x3 на промежутки (−∞;0) и (0;∞). Определим в каждом из них знак второй производной. Для

этого любое значение переменной х из соответствующего интервала подставим в y′′ = 6x . Результаты исследования представим в виде табл. 2.3.

Из теоремы 2.4. следует, что график функции y = x3 на интервале (−∞;0)

83

выпуклый, а на интервале (0;∞) вогнутый. При переходе через точку x = 0 вторая производная меняет знак. Следовательно, по теореме 2.5., точка O(0;0) является точкой перегиба.

2.11. Общая схема исследования функции

Для изучения функции и построения ее графика проводят исследование по следующей схеме:

1.Находят область определения функции D( f ).

2.Находят точки пересечения графика с осями координат.

3.Исследуют функцию на экстремум и определяют интервалы возрастания и убывания функции.

4.Находят точки перегиба и исследуют функцию на выпуклость и вогну-

тость.

5.Находят асимптоты графика функции.

6.Исследуют функцию на четность (нечетность) и периодичность.

Напомним, что функция y = f (x) называется четной, если ее значения не меняются при изменении знака аргумента (при условии, что x D( f ) и

−x D( f ) ), т.е.

f (−x) = f (x).

График четной функции симметричен относительно оси Oy , поэтому, по-

строение графика четной функции упрощается: достаточно построить график для x ≥ 0 и использовать зеркальное отражение через ось Oy . Примером четной

функции может служить y = x (см. рис. 2.11).

Функция y = f (x) называется нечетной, если она меняет знак при изменении знака аргумента (при условии, что x D( f ) и −x D( f ) ), т.е.

f (−x)= − f (x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Примером нечетной функции является y = x3 (см. рис. 2.10).

7. На основании результатов первых шести пунктов строят график исследуемой функции

Пример 2.9. Исследовать функцию y = 6x2 −9x − x3 и построить ее гра-

фик.

84

Решение.

1.Данная функция существует при всех значениях переменной х. Значит,

ееобласть определения D( f ) =(−∞;+∞).

2.Найдем точки пересечения графика функции y = 6x2 −9x − x3 с осями

координат.

а). Если x = 0 , то y = 0 .

3. Найдем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума. Для этого вычислим первую производную

y′ =(6x2 −9x − x3 )′ =12x −9 −3x2 = −3(x2 − 4x +3).

Используя необходимое условие существования экстремума (теорема 2.2.), найдем точки, в которых производная равна нулю:

−3(x2 − 4x +3)= 0 x1 = 3 и x2 =1.

Точки x1 =3 и x2 =1 разбивают область определения функции на интерва-

лы (−∞;1), (1;3) и (3;∞).

Чтобы определить, возрастает или убывает функция на каждом из перечисленных интервалов, воспользуемся достаточным условием возрастания и убывания функции (теорема 2.1).

Найдем знак первой производной в каждом из интервалов. Для этого возьмем любое значение переменой х из соответственного интервала и, подставим его в выражение для y′ и определим знак первой производной при вы-

бранном значении х. Так, в интервале (−∞;1) y′(x)< 0 , значит, функция на этом интервале убывает. В интервале (1;3) y′(x) > 0 , т. е. функция на этом интервале возрастает. На интервале (3;∞), y′(x)< 0 следовательно, функция убывает на

85

этом интервале. Результаты исследования запишем в виде табл. 2.4.

Из таблицы видно, что при переходе через критическую точку x =1 производная y′(x) меняет знак с « −» на «+». Следовательно, по теореме 2.3 точка

x =1 является точкой минимума ( ymin = y(1)= −4 ). А при переходе через критическую точку x =3 производная y′(x) меняет знак с «+» на« −». Таким обра-

зом, при x = 3 функция y = 6x2 −9x − x3 достигает максимума ( ymax = y(3)= 0 ). Таким образом, график функции y = 6x2 −9x − x3 проходит через точки

A(3;0) и B(1;−4).

4. Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Для этого вычислим вторую производную функции y = 6x2 −9x − x3

водной. Для этого любое значение переменной х из соответствующего интерва-

Из теоремы 2.4 следует, что график функции y = 6x2 −9x − x3 на интервале (−∞;2) вогнутый, а на интервале (2;∞) выпуклый. При переходе через

точку x = 2 вторая производная меняет знак. Следовательно, по теореме 2.5, точка C (2;−2) является точкой перегиба.

86

5. Данная функция не обладает ни свойством четности, ни свойством нечетности, так как

y(−x)= 6(−x)2 −9(−x)−(−x)3 = 6x2 +9x +3x3 ≠ y(x)≠ −y(x).

Функция y = 6x2 −9x − x3 непериодическая.

6.Асимптот функция y = 6x2 −9x − x3 не имеет.

7.Строим график функции y = 6x2 −9x − x3 (рис. 2.15), отметив вначале на плоскости Oxy точки пересечения функции с осями координат, точки экстремума функции и точку перегиба.

Рис. 2.15. График функции y = 6x2 −9x − x3

87

3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

3.1.Неопределенный интеграл

3.1.1.Понятие неопределенного интеграла

Вдифференциальном исчислении мы по заданной функции y = F (x) на-

ходили ее производную. Эта задача решалась довольно просто (необходимо было использовать таблицу производных, правила дифференцирования и формулу для нахождения производной сложной функции).

В интегральном исчислении мы будем решать обратную задачу: найти функцию F (x), зная ее производную F′(x)= f (x), т.е. требуется восстано-

вить функцию по ее производной.

Например, f (x) = 4x3 . Значит F (x) = x4 потому что (x4 )′ = 4x3 , но

F (x) = x4 +C , C = const – также решение этой задачи, так как (x4 +C )′ = 4x3 .

Таким образом поставленная задача имеет бесчисленное множество решений. К подобным задачам (восстановить функцию по ее производной) приво-

дят многие задачи физики, механики и т.д.

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на интервале (a;b), если для любого x (a;b) выполняется условие F′(x) = f (x).

Первообразная определяется с точностью до постоянной, т.е. если F (x) – первообразная функции f (x), то F (x)+C – тоже ее первообразная. Таким об-

разом, для функции f (x) существует бесчисленное множество первообразных

F (x)+C .

Множество первообразных F (x)+C данной функции f (x) называется

неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается

∫ f (x)dx = F (x)+C ,

где f (x) – подынтегральная функция, f (x)d x – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования, ∫ – знак неопределенного интеграла.

88

Нахождение неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

В декартовой системе координат неопределенный интеграл представляет собой совокупность «параллельных» кривых y = F (x)+C (каждому числовому

значению С соответствует одна кривая из совокупности (рис. 3.1)).

у

y = F (x)+C2

3.1.2.Основные свойства неопределенного интеграла

1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной

функции

(∫ f (x)dx)′ = f (x),

адифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

d(∫ f (x)dx)= f (x)dx .

2.Если подынтегральное выражение является дифференциалом некоторой функции F (x), то

∫dF (x)= F (x)+C .

3.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

89

∫λ f (x)dx = λ∫ f (x)dx ,

где λ = const ≠ 0 .

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, в частности для двух функций

∫f (x)± g (x) dx = ∫ f (x)dx ± ∫g (x)dx .

3.1.3.Таблица основных неопределенных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов, используя таблицу дифференциалов (таблица 2.2.) и свойства неопределенного интеграла.

Например, так как d(sin x) = cos x d x , то по второму свойству неопределенного интеграла имеем

90