Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

4.2. Найти пределы: a) lim

4 − x −

4 + x

;

x→0

3x

б) lim

x2 +1 −1

; в) lim

x

−1

;

x2 + 2 −

2

3 x

−1

x→0

x→1

г) lim

1 + tgx −

1 −tgx .

x→1

sin 2x

lim

( 4 − x − 4 + x)( 4 − x +

4 + x ) = lim

− 2x

=

x→0

3x( 4 − x + 4 + x)

x→0

3x( 4 − x +

4 + x)

= −

2 lim

1

4 + x

= −1 .

3 x→0

4 − x +

6

lim

(

x2 +1 −1)(

x2

+1 +1)(

x2 + 2 +

2)

=

x2 + 2 −

2)(

x2

+1 +1)(

x2

+ 2 +

2)

x→0 (

= lim

x2 ( x2 + 2 + 2)

= lim

x2 + 2 + 2

=

2.

x2 ( x2 +1 +1)

x2 +1 +

1

x→0

x→0

в) Делаем замену t6 = x, тогда при x→1,

t→1

и

lim

x −1

= lim

t3

−1

=

3

x −1

t2

−1

x→1

t →1

= lim

(t −1)(t2

+ t +1)

= lim

t2

+ t

+1

=

3

.

(t −1)(t +1)

t +1

2

t →1

t →1

sin

x

1

sin

x

1

lim

4

=

lim

4

=

.

x

4

x→0

4

4 x→0

x

4

4

2sin2

x

sin2

x

1

1 .

lim

2

= 2 lim

2

lim

=

2 x

x

2

2 x

x→0

x

2

cos

x→0

x→0

cos

2

4

2

2

2

в) По формулам половинныx

х

углов имеем

lim

2sin2 x

= lim

2sin x cos x

= 2 lim

sin x

lim cos x = 2 .

xtgx

x

x

x→0

x→0

x→0

x→0

г) Умножим и разделим числитель на 4 в кубе

4

3 x

3

x 3

lim

4

= 8lim

4

= 8.

x

x

x→0 8sin3

x→0 sin3

4

4

д) Сделаем замену x-2 = t,

при x→2,

t→0:

lim

sin2 (x −2)

= lim

sin2 t

=1.

(x −2)2

t2

x→0

t→0

е) На основании второй теоремы о пределах имеем

lim

sin 3x

+ lim

sin 4x

=

1

lim

sin 3x

+

2

lim

sin 4x

=

7

.

3x

4x

6

x→0

6x

x→0

6x

2 x→0

3 x→0

ж) Преобразуем числитель с помощью формул разности

lim

cos x − cos3x

= 4lim

sin2

x

cos x = 4limcos x = 4.

x2

x2

x→0

x→0

x→0

4.4. Найти пределы: a) lim

3x4 −4x2 +1

;

2 +5x −2x4

x→∞

б) lim

2x3 + x5 −

5x

+1

;

в) lim

1

+ 2x3 + 4x5

;

6x2 − x

+1

4x2 + x6

x→∞

x→∞

г) lim

1 + 2 + 3 +... + n

; д)

lim

1 − 2n

; е) lim

10n −1

.

4n4 + 3

+ 2n+1

+10n+1

n→∞

n→∞ 1

n→− ∞ 1

Решение: а) Разделим числитель и знаменатель на x4

4

1

3 −

+

= −

3

,

lim

x2

x4

2

5

2

x

→∞

+

− 2

2

1

1

x4

x3

т.к. величины

,

,

есть величины при х → ∞ бесконечно

x4

x2

малые.

x3

б) Здесь можно разделить числитель и знаменатель на x2

5

1

2x +1 −

+

= lim

2x +1

= ∞.

lim

x

x2

1

1

x→∞

x→∞

6

6

−

+

x

x2

в) Деля числитель и знаменатель на x6, получим

1

2

4

lim

+

+

=

0

x6

x3

x

= 0.

4

1

x→∞

+1

x4

получим

1+ n

n

n + n2

1

+1

1

lim

2

= lim

= lim

n

=

3

4.

n→∞ 4n4 +3

n→∞ 2 4n4 +3

n→∞

2

4 +

n4

1

−

1

1

lim

2n+1

2

= −

.

1

2

n→∞

+

1

2n+1

е) При

п→ −∞

10n и

10n+1 стремятся к нулю и

неопределенности в пределе нет

lim

10n

−1

=

0

−1

= −1.

1 +10n

+1

1

+ 0

n→∞

4.5. Найти пределы: а) lim

1

−

2

;

2

1

x

→1

x

−

x −1

x

2

+ x − x

2

+ x −1

)

2

sin x

б) lim

;

в)

lim tg

x

−

.

x→∞ (

x→

π

cos2 x

2

Решение: a) Приведем к общему знаменателю

lim

1−2(x +1) = lim

−2x −1 .

x→1

x2 −1

x→1

x2 −1

∞.

б) Умножим и делим на сопряженное выражение

lim

x2 + x − x2 − x +1

= lim

1

= 0.

x2 + x +

x2 + x −1

x2 + x −1

x→+∞

x→+∞ x2 + x +

в) Раскрываем тангенс и приводим к общему знаменателю

lim

sin2 x −sin x

= lim

sin x(sin x −1)

= −lim

sin x

= −

1

.

cos2 x

1−sin2 x

1 + sin x

2

x→π

x→π

x→π

2

2

πx ;

2

4.6. Найти пределы: a) lim (1 − x)tg

б) lim 3n tg3−n.

x→1

2

n→∞

π

limαtg π (1 −α)

= limαctg

π

α =lim

α cos 2 α

=

2

α →0

2

α →0

α →0

sin

π

α

π

2

2

α

π α =

2

=

lim

2

limcos

.

π

π α →0

sin

α

α →0

2

π

2

n

=

1

, получим

б) Полагая 3

x

lim 3n tg3−n = lim

1

tgx = lim

sin x

=1.

n→∞

x

→0

x

x→0 x cos x

4.7. Найти пределы: а) lim

x

+

4 5x

x

+ 2

1+3x

; б) lim

;

x

x

+1

x

→∞

x→∞

2

+ 5

2+3x 2

x −1

3−2 x

x

в) lim

;

г) lim

.

2

+ 2

2x

x→∞ x

x→∞

Решение. а) Разделим почленно числитель на x

4

5x

4

x

20

4

lim

1 +

=lim

1 +

.

x→∞

x

x→∞

x

Если сделать замену х = 4t, то при х→ ∞,

t→ ∞ и

4

x

20

1 t

20

4

20

lim

1+

=

lim

1+

t

= e

.

x

x→∞

t→∞