Практикум по высшей математике. дифференциальное исчисление. Пантелеев И.Н

= 1 x3 −

1

y

3x−2 + 4x2 −5,

2

3

2

−3

−

1

3

2

6

2

y′ = 2 x

+6x

+ 2x

2 =

2 x

+

+

.

x3

x

б) Здесь имеет место случай произведения двух функций,

поэтому

y

′

=

3

′

3

′

= 3x

2

cos x − x

3

sin x.

(x

) cos x + x

(cos x)

в) Поскольку имеет место частное двух функций, то

′

(x

2

′

2

+1) − (x

2

)(x

2

′

2x

3

+ 2x − 2x

3

2x

y

=

) (x

+1)

=

=

.

(x2 +1)2

(x2 +1)2

(x2 +1)2

f

′

= 0,

f

′

= −1,

f

′

= 3.

(0)

(1)

(−1)

б)

y = ln

x +1

;

в)

y = log2

3 tg 2 2x;

x2 − x +

1

г)

y = ln3 cos

x

.

3

Решение. a) Упростим логарифмируемое выражение

x − 2

2

x − 2

x − 2

y = ln

= 2ln

.

Полагая у = 2ln и,

u =

,

x + 2

x + 2

x + 2

применяем правило дифференцирования сложной функции

y′ = 2(ln u)′u u′x = 2

x + 2

(x − 2)′(x + 2) − (x − 2)(x + 2)′

=

8

.

x − 2

x2

− 4

(x + 2)2

б) Полагая у = lп и, где и =

x +1

, имеем

x2 − x +1

y′ = 2(ln u)′u u′x =

x2 − x +1 − (x +1)

2x −1

=

x2 − x +1

2 x2 − x +1

=

x +1

x2 − x +1

=

3

1 − x

=

3 1 − x

.

2 (x +1)(x2 − x +1)

2 (x +1)3

в) Упростим логарифмируемое выражение

2

2

y = log2 tg

3

2x =

log2 tg2x.

3

Дифференцируем как сложную функцию

2

1

1

8

1

y′ = 3

2

= 3

.

tg2x ln 2

cos2 2x

sin 4x ln 2

г) Дифференцируем как сложную функцию

′

2

x

1

x

1

x

2

x

y

= 3ln

cos 3 cos

x

(−sin 3) 3 = −tg 3 ln

cos 3 .

3

x

x

−

1.6. Найти производные: а) z = xea

+ ae

a ;

б)

y = e−3x (sin 3x + cos3x) ; в) z = ln

1 − 2x

;

1 + 2x

y′ =

1

1+ 2x

−

2x ln 2(1+ 2x ) +(1−2x )2x ln 2

=

2x ln 2

2

1−2x

(1+ 2x )2

22 x −1.

1

4

y′ = esin3 x 3sin2 x cos x +53 x ln 5

x−5 =

5

4

= 3esin3 x sin2 x cos x +53 x −1 x−5 ln 5.

1.7. Найти производные: а)

y = arctg

1 − x ;

1 + x

x

2 −3ϕ

; г) y = 3arctge−

б) u = arcsin 1 − 4t ; в) r = arccos

.

3

4

Решение. а) Находим производную как от сложной

1

1

1− x −

1

−(1+ x) −(1− x)

1

функции y′ =

2

= −

.

2

1− x

2

(1+ x)

2 1− x2

1+

1+ x

1+ x

б) Производная равна

(−4)

u

′

1

1

1

= 1 − (1

− 4t) 2

1 − 4t = − t(1 − 4t) .

в) Производная равна

r′ = −

1

−

3

3

.

− 3ϕ 2

4

=

4 + 4ϕ − 3ϕ

2

1 −

2

4

г) Производная равна

(−1)

x

1

e−

x

y′ = 3

e

−

3

3

−

=

.

2 x

2 x

1 + e−

3

1 + e−

3

3

1.8. Найти производные: а)

y = sh2

x

+ ch2

x

;

2

2

′

x

x

1

x

x

1

y

= 2sh 2 ch 2

2

+ 2ch 2 ch 2 2 = shx.

б) Дифференцируя как сумму и пользуясь свойствами

гиперболических функций, имеем

1

1

sh2 x − ch2 x

4

y′ =

−

=

= −

.

ch2 x

sh2 x

sh2 xch2 x

sh2 2x

1.9. Найти производные:

2

xe−x ,

x

≤ 0;

x

,

x

< 0;

а) y =

2

,

б) y =

1

,

),

x ≥ 0

,

x

> 0

ln(1 + x

2 − x, −1 < x < 2;

e

2 −5x + 6, 2 ≤ x

≤ 3;

в) y = x

−3,

3 < x < 4,

x

2x,

x < 0;

2x

y′ =

, x ≥ 0.

+ x

2

1

−x

(1 − x),

x

≤ 0;

e

y′ =

x

> 0.

0,

−1,

−1 ≤ x ≤ 2;

y′ = 2x −5, 2 ≤ x ≤ 3;

< x < 4.

1, 3

′

1

,

( x >1).

откуда ( Archx)

=

x2 −1

в)

производная

обратной

функции

равна

′

1

2

1

1

( Arthy) =

= ch

x =

=

,

y′x

1 −tg 2 x

1 − y2

откуда ( Arthx)′

=

1

,

(

x

<1).

1 − x2

г)

производная

обратной

функции

равна

′

1

2

1

1

( Arcthy) =

= −sh

x

= −

= −

,

y′x

ctg 2 x −1

y2 −1

′

1

(

x

>1).

откуда ( Arcthx)

= − x2 −1,

1.12. Пользуясь результатами предыдущего примера,

найти производные: а) y = Archln х; б) y = Arcth

2x

.

x2 +1

Решение.

а) По

правилу дифференцирования

сложных

функций имеем y

′

1

1

1

=

ln2 −1

x = x

ln2 x −1 .