2.1.7. Интегрирование по частям в определенном интеграле

неопределенном интеграле

∫udv = uv − ∫vdu .

(2.18)

Теорема. Если функции u(x) и v(x) непрерывны на отрезке [a b;]

вместе со своими производными

u (x) и v (x), то справедлива формула

′

′

∫b udv = uv

b

+ ∫b vdu .

(2.19)

a

a

a

b udv = (

udv)

b = (uv −

∫

vdu)

b =uv

b − (

vdu)

b ,

∫

∫

a

a

a

∫

a

a

π

Пример 2.5. Вычислить интеграл ∫2 x cos xdx .

0

π

u = x,

du = dx

2

=

∫xcos xdx =

dv = cos xdx,

v = ∫cos xdx = sin x + c

(c

= 0)

0

π

π

π

π

π

π

π

π

2

= x sin x

2

sin

− 0 + cos x

2

=

+ cos

− cos0 =

−1.

− ∫sin xdx =

2

2

2

2

2

0

0

0

Пример 2.6. Вычислить ∫2 x2 ln xdx .

1

2

2

u = ln x,

du

= 1 dx

∫x2 ln xdx = ∫ln x x2 dx =

dv = x

dx,

v

x

3

=

= 3

1

1

2

x

x3

2

x3

2

1

8

1

1

2

2

= ln x

1

−

∫

x

dx =

ln 2

−

ln1

−

∫x

dx =

3

3

3

3

3

1

1

8

1

x3

2

8

1

(2

3

3

)=

8

7

.

=

ln 2

−

1

=

ln 2

−

−1

ln 2 −

3

3

3

3

9

3

9