2. Пространство элементарных событий

До сих пор вводимые нами случайные события и соотношения между ними определялись исходя из их реального смысла. В настоящее время в теории вероятностей наиболее распространенным является подход, в котором событие определяется через понятие элементарного события или исхода. Это понятие является начальным и потому формально неопределяемым. Тем не менее, можно назвать любой единичный исход эксперимента элементарным исходом или элементарным событием и обозначить через . В реальном опыте элементарным событиям соответствуют взаимоисключающие исходы этого опыта. Всю совокупность таких исходов будем называть множеством элементарных исходов или пространством элементарных событий, и обозначать через .

Для данного эксперимента может быть дискретным или непрерывным. К дискретным пространствам элементарных событий относятся конечные или счетные множества элементарных исходов, ко вторым - множества типа континуума (например, любой конечный или бесконечный интервал на числовой прямой).

Приведем примеры пространств элементарных событий.

Пример 1.3. Опыт состоит в подбрасывании монеты один раз.

Возможными исходами в этом опыте будут: выпадение герба , выпадение цифры . Кроме того, монета, возможно, встанет на ребро, укатится куда-нибудь и т. п. Можно перечислить ряд исключающих друг друга событий, которые могут произойти с реальной монетой. Но при математическом описании этого опыта естественно отвлечься от ряда несущественных исходов и ограничиться только двумя: «г»; «ц». Таким образом, при описании этого опыта дискретно и конечно.

Пример 1.4. Подбрасывание игральной кости один раз.

В этом опыте естественно выбрать , где обозначает исход опыта, заключающийся в выпадении очков, = 1, 2,…,6. Пространство элементарных событий здесь дискретное и состоит из конечного числа событий.

Пример 1.5. Работа телефонной станции.

Предположим, что мы наблюдаем работу телефонной станции, обслуживающей определенное число абонентов, в течение часа работы и нас интересует число поступивших вызовов. За время наблюдения может не поступить ни одного вызова, один вызов, два вызова и т. д. Понятно, что число вызовов будет всегда конечно. Однако разумно установить верхнюю границу числа вызовов довольно затруднительно. Проще не ограничивать возможное число вызовов и считать возможными исходами 0 и все натуральные числа. Здесь пространство элементарных событий дискретно и счетно: .

Пример 1.6. Стрельба по плоской мишени.

Введем в плоскости мишени прямоугольную систему координат и каждому исходу опыта (попадание в определенную точку плоскости) поставим в соответствие координаты этой точки. Тогда множеством будет вся плоскость или множество всех пар действительных чисел: .

(Здесь - непрерывно.)

Случайным событием называется любое подмножество множества элементарных исходов , , т.е. любое событие - это совокупность элементарных исходов.

Так, в примере 1.1 события: = ; = ; .

В примере 1.4 можно рассматривать события:

= {выпадение четного числа очков} = ,

= {выпадение числа очков, кратного трем} = ,

= {выпадение любого числа очков} =

В примере1.5 события:

= { n=3 } = {поступило ровно три вызова},

= { n 1 } = {поступил хотя бы один вызов}.

Если в примере 1.6. по условиям стрельбы мишень представляет множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству , то событие

={попадание в мишень}= .