11. Раскрытие неопределЕнностей по правилу лопиталя

Введение понятия производной и операции дифференцирования дает мощный аппарат для вычисления пределов. Приведенная ниже теорема, известная под названием «правило Лопиталя», является основным методом для раскрытия неопределенностей при помощи производной.

Правило Лопиталя. Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки и выполняется условие:

,

( ).

Тогда если существует предел отношения при , то существует и предел отношения самих функций при , то есть

. ( 23)

Иными словами, для неопределенностей вида или предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).

В равенстве (23) может быть либо числом, либо , или .

Пример

Вычислить .

Решение

Подстановка в заданную функцию предельного значения приводит к неопределенности вида .

Применим правило Лопиталя :

Замечание. Если предел отношения производных опять представляет собой неопределенность вида или , то можно применить правило Лопиталя снова. Таким образом, правило Лопиталя можно применять неоднократно.

Пример

Найти .

Исходное выражение и отношения первых производных от числителя и знаменателя при дают неопределенность вида , поэтому можем применить правило Лопиталя дважды:

Замечание. Для удобства будем записывать в одну цепочку равенств повторные применения правила Лопиталя, а после каждого применения в скобках указывать вид полученной неопределенности.

Пример

.

Замечание. Следует однако предусмотреть такую ситуацию, когда предел отношения самих функций может существовать, в то время как предел отношения производных равен либо , либо не существует.

Примеры

1. Найти .

Имеем .

В то время как предел отношения их производных не существует.

2. Найти

Имеем

И в этом случае предел отношения производных

тоже не существует.

В этих примерах применили метод непосредственного вычисления предела, поделив числитель и знаменатель на х, а , как отношение ограниченных функций и и бесконечно большой .

Но предел вида: не существует, так как при числитель и знаменатель дроби могут принимать любые значения из отрезка [0,2] (здесь значение дроби будет равно двум, например, при , а при оно равно нулю), а само отношение производных принимает любые неотрицательные значения. Следовательно, правило Лопиталя в этом случае неприменимо.

12. Некоторые специфические методы Раскрытия неопределЕнностей вида

Под раскрытием таких неопределенностей понимают нахождение следующих пределов:

1. Неопределенность .

Нахождение предела , если , .

2. Неопределенность .

Нахождение предела , если , .

2. Неопределенность Нахождение предела , если , .

3. Неопределенность .

Нахождение предела , если , .

2. Неопределенность .

Нахождение предела , если , .

2. Неопределенность .

Нахождение предела , если , .

Неопределенность вида может быть сведена к одному из ранее рассмотренных видов или (классические виды) при помощи тождественных преобразований: или , т.е. один из множителей опускаем в знаменатель знаменателя.

Пример

Вычислить .

Решение

Имеем неопределенность вида .

.

Неопределенность вида может быть сведена к виду или классическим видам путем тождественных преобразований :

. (24)

Здесь последовательно выносят за скобку общие множители – сначала , а затем , то есть ,

или , которые тоже можно использовать для вычисления пределов.

Пример

Вычислить .

Решение

Преобразуем функцию

.

Имеем .

Продолжая преобразования, получаем

.

Замечание. Очень часто при раскрытии неопределенностей сложность решения зависит от способа преобразования данной функции.

Пример

Вычислить

Решение

, ,

поэтому .

Неопределенности вида .

Вычисление предела функции в этих случаях можно свести к раскрытию неопределенностей вида при помощи следующего преобразования:

. (25)

И тогда, в силу непрерывности показательной функции, будем иметь:

. (26)

Примеры

1. Вычислить .

Решение

Преобразуем данную функцию по формуле (26):

.

В показателе от неопределенности вида перешли к неопределенности вида . Теперь можем применить правило Лопиталя: .

Здесь вычисляем предел справа, так как при отрицательных не определен.

2. Вычислить .

Решение

Имеем неопределенность вида , т.к. .

Преобразуем этот предел по формуле (26):

.

Сделаем замену переменной, положив . При , .

Теперь имеем

.

Окончательно .

3. Вычислить .

Решение

Имеем неопределенность вида .

Преобразуем по формуле (26):

.

Все указанные виды неопределенности могут быть раскрыты другим способом, который заключается в предварительном логарифмировании функции вида и нахождении предела этого логарифма.

Пусть , где а – искомый предел.

Прологарифмируем обе части (применяем натуральный логарифм):

.

Таким образом, получаем логарифм предела: .

Следовательно, .

2. Вычислить .

Решение

Это неопределенность вида .

Обозначим искомый предел через а:

; ,

следовательно, , .

2. Вычислить ;

Решение

Имеем неопределенность вида .

Пусть .

Тогда

= .

Следовательно, ; .