7. Метод полного исключения

Используется для решения систем линейных уравнений, обращения матриц, разложения вектора по базису, вычисления ранга матрицы.

7.1. Решение систем линейных уравнений

Первый шаг (соответствует исключению неизвестной x₁) выполняется с разрешающим элементом a₁₁0 по правилам прямого хода метода Гаусса.

Общий шаг (соответствует последовательному исключению неизвестных x₂, x₃, ..., x_n) выполняется по следующим правилам:

• назначается разрешающий элемент; им будет коэффициент при исключаемой неизвестной;

• элементы разрешающей строки остаются неизменными;

• все элементы разрешающего столбца (кроме разрешающего элемента) заменяются нулями и остаются таковыми до конца преобразований;

• все прочие элементы пересчитываются по правилу прямоугольника.

Контроль вычислений остается неизменным.

Решим ту же самую систему линейных уравнений методом полного исключения.

 

   .

Ответ: .

7.2. Вычисление обратной матрицы методом полного исключения.

Дана матрица , det A 0.

Составляем расширенную матрицу, приписав справа к исходной матрице единичную матрицу, отделив её от исходной вертикальной чертой:

.

Эта матрица подвергается преобразованиям по алгоритму полного исключения и слева от вертикальной черты получается единичная, а справа - обратная матрица А^-1. При расчёте желательно вести контроль вычислений.

Пример. Для матрицы А= найти А^-1, пользуясь методом полного исключения.

Решение.

 

~ ~

~

А^-1= = .

7.3. Вычисление ранга матрицы методом полного исключения

Пусть дана матрица A размеров m x n. Если в ходе преобразований её методом полного исключения не встретится строка (столбец), состоящая сплошь из нулей, то rang A = min(m;n). Если же k (k<min(m;n)) строк (столбцов) матрицы окажутся состоящими сплошь из нулей, то rang A = min(m;n)-k.

Пример. Найти ранг матрицы:

A=

Решение.

     Следовательно, rang A=2.

Однородные системы линейных уравнений.

Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если во всех её уравнениях свободные члены равны 0.

В общем случае однородная система имеет вид:

.

Однородная система всегда совместна, т.к. имеет нулевое (тривиальное) решение x_i=0, i= .

Теорема 1. Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Теорема 2. Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен 0.

8. Собственные значения и собственные векторы матриц

Определение. Число  называется собственным значением квадратной матрицы А порядка n , если существует такой ненулевой вектор-столбец , что выполняется равенство

. (1)

При этом вектор-столбец называется собственным вектором, отвечающим собственному значению .

Т.к. I = , где I - единичная матрица порядка n, то равенство (1) можно переписать в виде А - I =0 или

(A - I) = . (2)

Запишем это равенство в развёрнутом виде.

. (3)

Эта однородная система линейных уравнений, матричная форма записи которой определяется выражением (2). Эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда det (A-I) = 0.

Определение. Для всякой квадратной матрицы А уравнение

det (A-I) = 0 (4)

относительно переменной , где I - единичная матрица, называется характеристическим (вековым) уравнением, а многочлен det(A-I) - характеристическим многочленом матрицы А.

Определение. Совокупность всех собственных значений матрицы А называется её спектром (А) , причем каждое собственное значение входит в спектр столько раз, какова его кратность в уравнении (4). Если характеристическое уравнение (4) имеет лишь простые корни, то спектр матрицы А называется простым.

Свойства матрицы А, связанные с её собственными значениями, называются спектральными свойствами матрицы А. К основным из них относятся следующие:

1. det A = ( читается: "произведение по i от 1 до n" );

2. Sp A = ;

3. если матрица А имеет диагональный или треугольный вид, то _i = a_ii , i= ;

4. если _i - собственные значения матрицы А, то i= , -собственные значения матрицы А^k.

Теорема о спектре. Для того, чтобы число  было собственным значением матрицы А, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения (2) матрицы А.

Вычисление собственных векторов матрицы.

После того, как будут найдены собственные значения _i , i= , матрицы А, их подставляют в систему (3) и решают её. Найденные значения x_i и будут координатами собственного вектора матрицы А, отвечающего собственному значению _i , i= .

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А: .

Решение. Составим характеристическое уравнение det (A-I)=0.

=(5-)(2-)-4=10-5-2+²-4=²-7+6=0

₁=1; ₂=6.

Ищем собственные векторы, отвечающие собственному значению ₁=1. Для этого решаем систему линейных уравнений (A-I) =0 , т.е. .

.

Следовательно, все собственные векторы, отвечающие ₁=1, имеют вид: и получаются из одного вектора умножением на произвольное число x₁0. Положив x₁=1 , получим собственный вектор =(1;-2).

Аналогичную процедуру проделываем для ₂=6.

Откуда получаем: . Второй собственный вектор имеет вид . Полагая x₂=1, получим собственный вектор .

Геометрический смысл собственных значений и собственных векторов.

Определение. Если каждому вектору , взятому из некоторой совокупности векторов, соответствует определённый вектор , то такая векторная функция от векторного аргумента называется преобразованием.

Закон соответствия обычно записывают в виде =А , где А - символическое обозначение преобразования. Вектор =А называют образом вектора .

Преобразование А называется линейным, если для любых векторов , , и любого числа R справедливы равенства: а)A( + ) = A + A ; б)A( ) = A .

Теорема. Любое линейное преобразование можно представить и притом единственным образом в матричной форме = А .

Матрица А называется матрицей линейного преобразования.

С геометрической точки зрения собственный вектор матрицы линейного преобразования определяет прямую, проходящую через начало координат, положение которой в результате преобразования не меняется и вдоль которой плоскость ( пространство) испытывает растяжение (сжатие) в раз, если >1 ( <1). Если <0, то, кроме растяжения или сжатия, направление любого вектора, лежащего на этой прямой, меняется на противоположное: А =  = - .

Пример. Зеркальное отражение.

Матрица А= определяет линейное преобразование = А , = , = .

= = .

В прямоугольной системе координат X₁OX₂ это - зеркальное отражение точек плоскости относительно оси OX₁.

Рис.8. Зеркальное отражение

Любой вектор, лежащий на оси OX₁, является собственным вектором, отвечающим собственному значению ₁=1:

= , т.е. А = 1∙ .

Любой вектор, лежащий на оси OX₂, является собственным вектором, отвечающим собственному значению ₂=-1:

= = (-1)∙ , т.е. А = (-1)∙ .

Матрица А = определяет преобразование, являющееся зеркальным отражением точек плоскости относительно оси OX₂.

Можно рассматривать также зеркальное отражение относительно любой прямой, проходящей через начало координат.

В случае трёхмерного пространства зеркальное отражение его можно производить в любой плоскости, проходящей через начало координат. Такое преобразование также будет линейным.