Т.И. Костина, ю.И. Сапронов нелокальный анализ периодических колебаний математического маятника

В статье рассмотрена задача о периодических колебаниях маятника. К уравнению была применена процедура нелокальной конечномерной редукции Пуанкаре-Ляпунова-Шмидта. Получены графические изображения вторично редуцированных, в силу круговой симметрии, ключевых функций, демонстрирующие тенденции изменения амплитуд колебаний при подходе параметров к критическим и резонансным значениям

Колебания «загруженного математического маятника» (в дальнейшем «маятника») описываются, как известно (см. [1]), уравнением

(1)

где — время, — угол отклонения маятника от положения равновесия, — параметр нагрузки, — функция внешнего колебательного воздействия. Будем рассматривать это уравнение при периодических краевых условиях с фиксированным периодом :

(2)

Заметим, что колебания с периодом, отличным от , также «охватываются» задачей (1)-(2) посредством масштабирующих преобразований вида , , .

Задача (1)-(2) определяет также экстремали функционала энергии

(3)

С целью упрощения дальнейших вычислений, положим то есть заменим уравнение (1) на уравнение

(4)

где

— первые три моды колебаний, отвечающие трем критическим значениям параметра : и (с фиксированным периодом ). Модами колебаний называются собственные функции оператора , то есть такие -периодические функции, для которых выполняется равенство

(5)

с некоторым . Или, что эквивалентно, функция должна быть решением линейного уравнения

(6)

Соответствующее значение , при котором выполняется равенство (5) (или (6)) для заданной моды , называется собственным значением, отвечающим собственной функции или критическим значением параметра , соответствующим моде . Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что множествовсех решений уравнения (6) (с периодом 2 ) исчерпывается следующим набором функций и отвечающих им собственных значений

(7)

Нормирующий множитель выбран из-за удобств вычислительного характера, связанных с тем, что система функций (7) образует ортонормированный базис в .

При изучении и построении функций , моделирующих колебания маятника (по предлагаемой ниже методике), используется тройка непрерывно вложенных пространств , в которой

(8)

В определено стандартное скалярное произведение:

При в качестве редуцирующей системы ключевых параметров можно взять совокупность коэффициентов Фурье (в рамках вариационной редуцирующей схемы Ляпунова-Шмидта [2],[3]).

Если записать левую часть исходного уравнения (1) в операторном виде

то задачу (1)-(2) можно представить в виде системы двух операторных уравнений (при )

(9)

где — пара ортопроекторов (в метрике ) на и , , — соответствующие сужения оператора , , .

Для второго уравнения последней системы имеет место однозначная разрешимость по при каждом — вследствие выпуклости функционала энергии на подпространстве (при условии ). После построения (приближенного) аналитического выражения для решения второго уравнения системы (9) в виде отображения получим приближенное выражение так называемой глобальной ключевой функции в виде

(10)

Построение приближенного аналитического представления отображения можно осуществить, например, на основе принципа сжимающих отображений. Для этого достаточно записать вместо второго уравнения системы (9) эквивалентное ему уравнение

(11)

рассмотренное в подпространстве пространства . Здесь — оператор Грина для краевой задачи суженный на подпространство .

Теорема 1. При отображение является сжимающим (с константой сжатия, не зависящей от ).

Доказательство вытекает из следующих известных неравенств:

— обобщенное неравенство Пуанкаре-Виртингера.

Как и в случае ритцевской аппроксимации, ключевая функция и ее приближения линейно зависят от параметров . Следовательно, эти параметры не входят в уравнение параболического множества — множества точек, в которых вырождается второй дифференциал. Построенное таким образом параболическое множество для приближенной ключевой функции преобразуется затем в пространство параметров посредством градиентного отображения, что в итоге дает приближенное изображение каустики [2],[3]. Сходимость итерационного процесса, основанного на формуле (11), является - равномерной по параметрам для любого заранее заданного (сходимость осуществляется вместе с производными до порядка ). Если выбрать область определения, на которой функционал трансверсален всем своим особенностям, то -равномерная сходимость обеспечит «топологическую стабилизацию» приближенных изображений каустики.

Построение и анализ «колебательной функции» маятника можно осуществлять, с достаточно хорошей точностью, посредством анализа ключевой функции [4]-[10]. Каждой критической точке функции соответствует (с сохранением индекса Морса) колебательной функция для маятника.

Изложенная исследовательская схема допускает применение (с некоторыми модификациями и уточнениями) к аналогичным задачам для эйлерова стержня, пространственного стержня Кирхгофа, а также для упругих балок и пластин в нелинейной модели Фусса-Винклера-Циммермана [3],[4].

Вследствие круговой симметрии, возникающей из-за того, что функционал действия инвариантен относительно трансляции (сдвига) функции по аргументу: , получим (при и ) ключевую функцию в виде

Ниже приведены графические изображения поверхностей уровня для второго приближения к ключевой функции маятника. Уровни соответствуют значениям, близким к значению в седловой точке. Очевидно, что внутри замкнутых компонент («овалоидов») имеются точки минимума, соответствующие некоторым равновесным режимам маятника.

Второе приближение к ключевой функции маятника задано нелинейной ритцевской аппроксимацией по первым трем модам. В результате был получен многочлен W2, который мы здесь не приводим вследствие его громоздкости.

Некоторые поверхности уровней многочлена W2 изображены ниже на рис. 1.

Рис. 1. Поверхности уровней второго приближения к ключевой функции маятника (при λ= 1.01, q0 = 0, q1 = 0.001 , q2 = 0, W2 = −0.003, 0.0038, 0.009)

Рисунки подчеркивают обобщенную круговую симметрию рассмотренных уравнений. Положив ξ₁=rcos(ψ), ξ₂=rsin(ψ), получим относительно более простой многочлен в виде

U(ξ₀,r,ψ):= P(ξ₀,r)+qcos(ψ)r. (12)

Анализ критических точек многочлена (12) упрощается, если перейти к редуцированной функции двух переменных

U₀(ξ₀,r) := extrU(ξ₀,r,ψ) = P(ξ₀,r)+qr. (13)

Рис.2. Семейства линий уровней второго приближения кредуцированной ключевой функции маятника при λ=1.14, q0=0; q=0; q=−0.005, q=−0.009 и q=−0.011

| |

Рисунки показывают, то с увеличением амплитуды q внешнего воздействия (при фиксированном значении параметра λ начинается снижение величины амплитуды бифурцирующего колебания, соответствующего нижней седловой точке). При подходе параметра q к значению 0.011 седловая точка исчезает, слившись с точкой максимума.

Литература

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики / В.И.Арнольд. М.: Наука, 1989. - 472с.

2. Красноселький М.А. Итерационный процесс с минимальными невязками / М.А. Красноселький, С.Г. Крейн // Матем. сборник. 1952. Т.31 (73), в.2. -С.315-334.

3. Сапронов Ю.И. Моделирование диффузорных течений жидкости посредством редуцированных уравнений / Ю.И. Сапронов // Вестник ЮУрГУ. Сер: Математическое моделирование и программирование. 2014, том 7, № 2. -С.74-86.

4. Коротких А.С. Стабильные концентрации, определяемые одномерным уравнением диффузии с кубической нелинейностью / А.С.Коротких // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. 2016, №3. - С.156-161.

5. Костина Т.И. Нелокальное вычисление ключевых функций в задаче о периодических решениях вариационных уравнений / Т.И. Костина // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. №1. 2011 - С.181-186.

6. Ковалева М.И. Огибающие кривые, точки возврата и бифуркационный анализ нелинейных задач // М.И.Ковалева, Т.И. Костина, Ю.И. Сапронов / Воронеж: ВУНЦ ВВС "ВВА 2015. - 242с.

7. Вайнберг М.М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М. Вайнберг, В.А. Треногин // - М.: Наука. 1969. - 528с.

8. Костина Т.И. Анализ ветвления периодических решений уравнения Белецкого посредством вариационного метода Ляпунова-Шмидта / Т.И.Костина // Математические модели и операторные уравнения. Том 5, вып.1. Воронеж: ВорГУ, 2008. - С. 98–104.

9. Костина Т.И. Нелокальный анализ гладких вариационныхз адач с параметрами / Т.И.Костина // Канд. диссертация. Воронеж, ВГУ. 2011. – 122с.

10. Борзаков А.Ю. Нелинейные ритцевские аппроксимации и визуализации бифуркаций экстремалей / А.Ю.Борзаков, А.А. Лемешко, Ю.И. . Сапронов // Вестник ВГУ. Сер. физ., матем. Воронеж: ВГУ. - 2003, вып.2. - С.100-112.

11. Борзаков А.Ю. Редукции в нелокальном анализе вариационных краевых задач и уравнение колебаний маятника // Семинар поглобальному и стохастическому анализу. Воронеж: ВГУ. 2005, Вып.1. - С.34-44

Воронежский государственный технический университет

Воронежский государственный университет