2.2. Теоретическая справка [1,2]

Изгиб стержня – это вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержняа возникают только изгибающие моменты и поперечные силы Q. тержень, работающий на изгиб, называют балкой.

От действия изгибающего момента в каждой точке поперечного сечения балки возникает нормальное напряжение . От действия поперечной силы Q возникает касательное напряжение . Пусть Cх , Cу главные центральные оси поперечного сечения балки, Cz – продольная ось балки. Если все внешние силы приложены в плоскости уCz (рис.2.1 а), то реализуется прямой поперечный изгиб балки и напряжения в поперечном сечении определяются по формулам

(2.1)

где М_х – изгибающий момент относительно оси Cх; – осевой момент инерции поперечного сечения относительно оси Сх; y – координата точки, в которой определяется напряжение; b – ширина поперечного сечения; - статический момент относительно оси Сх площади части поперечного сечения, расположенной выше точки с координатой у.

Для длинных балок касательными напряжениями τ ввиду их малости пренебрегают и проводят расчет на прочность по нормальным напряжениям

, (2.2)

где - осевой момент сопротивления поперечного сечения при изгибе; - допускаемое нормальное напря-жение.

2.3. Пример решения задачи

Шарнирно закрепленная на двух опорах стальная двутавровая балка (рис.2.1 а) нагружена сосредоточенной силой F = 20 кН, равномерно распределенной по длине нагрузкой интенсивности q = 16 кН/м и моментом М = 10 кНм. Допускаемое нормальное напряжение МПа, расстояния a = 3 м, b = 4 м, с = 2 м, = 14 м. Требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, определить максимальный изгибающий момента , и подобрать номер двутаврового поперечного сечения из расчета на прочность.

Решение подобных задач ведется в следующем порядке:

а) Определение реакций опор R₁ , R₂ , R₃ из уравнений равновесия балки

, - R₁ = 0;

, R₂ + R₃ – qa – F = 0;

, R₃(l - c) – Fl - .

Решая эту систему, получаем:

= 0, R₃ = 28,5 кН, R₂ = 39,5 кН.

б) Построение эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М_х.

Определяем количество и границы участков балки. В данном случае балка имеет четыре участка. Для определения Q, М_х используем метод сечений,

1 участок, 0<z₁<a.

Рассечем мысленно балку на две части поперечным сечением, отстоящим на расстояние z₁ от левого конца балки, отбросим правую часть балки, ее действие на левую часть заменим поперечной силой Q и изгибающим моментом М_х. Их положительные направления показаны на рис. 2.1 б.

Составим уравнения равновесия для сил, действующих на оставшуюся левую часть балки: сумма проекций сил на ось Cу равна нулю и сумма моментов относительно оси Cх равна нулю:

, R₂ – qz₁ – Q = 0;

, M_х + .

В итоге имеем

Q = R₂ – qz₁, M_x= . (2.3)

Следовательно, при рассмотрении левой отсеченной части балки поперечная сила Q равна алгебраической сумме вертикальных внешних сил, расположенных слева от поперечного сечения, при этом положительные слагаемые в сумме – силы направленные вверх, отрицательные слагаемые – силы направленные вниз. Изгибающий момент М_х равен сумме моментов относительно оси Сх, проходящей через центр тяжести С поперечного сечения. При этом положительные слагаемые в сумме – это моменты, направленные по ходу часовой стрелки, а отрицательные слагаемые – моменты, направленные против хода часовой стрелки.

При рассмотрении правой отсеченной части балки учитываются силы, расположенные справа от поперечного сечения, и применяется обратное правило знаков.

Для построения линейной эпюры Q определим два краевых значения (2.3): при z₁= 0, Q = R₂ = 39,5 кН, при z₁ = a, Q = = R₂ – q·a = - 8,5 кН.

Для построения квадратичной эпюры М_х определим два значения на концах участков, исследуем функцию на наличие экстремумов и определим направление выпуклости кривой М_х: при z₁= 0, М_х =0, при z₁ = , М_х = .

Р ис. 2.1

Экстремальное значение найдем из условия

, отсюда .

Поскольку , то кривая имеет выпуклость вверх и в сечении с координатой имеет максимальное значение

.

2 участок, 0<z₂<b.

Рассечем мысленно балку на две части поперечным сечением, отстоящим на расстоянии (a + z₂) от левого конца балки (рис.2.1 в). Применяя указанные правила определения Q, M_х, вытекающие из уравнений равновесия оставшейся левой части балки, получим

Q = R₂ – qa = - 8,5 кН, М_х = R₂(a + z₂) – qa( + z₂ ).

Таким образом, поперечная сила Q на втором участке постоянна. Для построения линейной эпюры изгибающего момента М_х определим два значения:

при z₂ = 0 M_х= ,

при z₂ = b M_х = R₂(a + b) – qa(0,5a + b) = 12,5 кНм.

3 участок , 0<z₃<c.

Рассечем мысленно балку на две части поперечным сечением , отстоящем на расстоянии z₃ от правого конца балки (рис. 2.1 г). Рассматривая условия равновесия правой части балки, получим:

Q = F = 20 кН, М_х = - Fz₃.

Следовательно, поперечная сила Q на этом участке постоянна. Для построения линейной эпюры изгибающего момента определим два краевых значения:

при z₃ = 0 М_х = 0, при z₃ = c M_х= - Fc = - 40 кНм.

4 участок , 0<z₄<(l – a – b - c).

Рассечем мысленно балку на две части поперечным сечением, отстоящем на расстоянии (с + z₄) от правого конца балки (рис.2.1 д). Рассматривая условия равновесия оставшейся правой части балки, получим:

Q = F – R₃ = - 8,5 кН, М_х = - F(c +z4) + R₃z₄.

Таким образом, поперечная сила Q на этом участке постоянна. Для построения линейной эпюры изгибающего момента определим два краевых значения:

при z₄ = 0 M_х = - Fc = - 40 кНм,

при z₄ =l– a– b – c M_х =- F(l– a–b)+ R₃(l– a– b –c)= 2,5 кНм.

Эпюры Q, М_х приведены на рис.2.1, а.

в) Определим необходимые размеры поперечного сечения двутавровой балки .

Наиболее опасным поперечным сечением является сечение, где модуль изгибающего момента максимален. В данном случае = 48,76 кНм.

Из расчета на прочность (2.2) определим расчетную величину осевого момента сопротивления поперечного сечения

,

Этому условию удовлетворяет двутавр № 27, ГОСТ 8239 – 79, для которого .

Задача № 3 по теме «Расчет на устойчивость призматического стержня»

3.1. Задание.

Стальной стержень длиной сжимается силой (табл. 3.2). Требуется

1. Определить размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении = 160 МПа (расчет вести методом последовательных приближений, предварительно приняв величину коэффициента = 0,5);

2. Определить величину критической силы и коэффициента запаса устойчивости. Данные для и взять из табл. 3.1.

Таблица 3.1

Номер строки	Сила F, кН	Длина стержня ,м
1	80	2,0
2	160	2,1
3	240	2,2
4	320	2,3
5	400	2,4
6	480	2,3
7	560	2,2
8	640	2,1
9	720	2,0
0	760	1,8

3.2 Теоретическая справка [1.2]

Наблюдения за поведением призматических стержней, нагруженных осевыми сжимающими силами F, показывают, что:

Таблица 3.2

а) при силе F, не превышающей критической силы F_кр, продольная ось стержня остается прямой и происходит простое сжатие стержня. При этом в поперечных сечениях

стержня возникают только нормальные напряжения сжатия , ( - площадь поперечного сечения стержня).

б) при силе первоначально прямая ось стержня искривляется, то есть прямолинейная форма равновесия теряет устойчивость. При этом к нормальным напряжениям сжатия добавляются значительные нормальные напряжения от изгиба стержня, и может произойти разрушение чтержня.

Пусть Е – модуль упругости материала стержня, σ_{пц, ,} – соответственно пределы пропорциональности, текучести и прочности материала, – минимальный осевой момент инерции поперечного сечения, – длина стержня, - площадь поперечного сечения стержня; μ – коэффициент приведения длины, зависящей от вида закрепления концов стержня, - минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня; - гибкость стержня, - предельная гибкость стержня, - критическое напряжение.

В зависимости от величины гибкости λ критическое напряжение в стержне определяют одним из трех способов:

а) для стержней, имеющих большую гибкость критическое напряжение определяют по формуле Эйлера ;

б) для стержней средней гибкости критическое напряжение определяется по формуле Ф.С. Ясинского ,

где a₀, b – постоянные для данного материала коэффициенты; величина λ₀ определяется из условия σ_кр = σ_Т для пластичного материала и условия σ_кр = σ_В для хрупкого материала;

в) для стержней малой гибкости критическое напряжение принимается равным σ_кр = σ_Т для пластичного материала и σ_кр = σ_В для хрупкого материала.

Для расчета на прочность при простом сжатии используется формула

, (3.1)

где - допускаемое напряжение для материала стержня.

Расчет на устойчивость проводится по аналогичной формуле

, (3.2)

где - допускаемое напряжение для материала стержня при расчете на устойчивость; - коэффициент запаса устойчивости.

Для конструкций с регламентированными коэффициентами запаса устойчивости принимают

, (3.3)

где коэффициент уменьшения допускаемого напряжения, зависящий от материала стержня и гибкости стержня .

Таблица 3.3

	0	20	40	60	70	80	90	100
	1	0,97	0,92	0,86	0,81	0,75	0,69	0,6
	110	120	140	160	180	200	220	-
	0,52	0,45	0,36	0,29	0,23	0,19	0,16	-

В дальнейшем будем считать, что стержень изготовлен из пластичного материала –стали Ст. 3. Для этого материала по строительным нормам и правилам проектирования приняты следующие характеристики:

= 2*10⁵ МПа; = 240 МПа; = 310 МПа;

= 1,14 МПа; = 60; = 100.

Коэффициент для стали Ст. 3 определяется по таблице 3.3 методом линейной интерполяции.

3.3. Пример решения задачи.

Пусть стержень с шарнирно закрепленными концами изготовлен из стали Ст.3. Стержень имеет квадратное поперечное сечение со стороной , длину и сжимается силой (рис. 3.1 а). Допускаемое напряжение при расчёте на прочность .

Подобные задачи решаются в следующем порядке.

а) подготавливаются для расчета формулы для основных геометрических характеристик поперечного сечения стержня

, , ,

, ;

Рис. 3.1

б) определим размер поперечного сечения, используя метод последовательных приближений:

1 приближение.

Принимаем значение коэффициента . Тогда на основании формул (3. 2), (3. 3) имеем

, ;

.

По табл. 3.3, по гибкости методом линейной интерполяции получаем коэффициент

.

Следовательно, выбранное первоначальное значение является завышенным.

2 приближение.

Принимаем значение

.

Тогда

, ,

.

По табл. 3.3, при гибкости методом линейной интерполяции определяем коэффициент .

Следовательно, значение является завышенным.

3 приближение.

Принимаем значение .

Тогда

, ,

По табл. 3.1, по гибкости методом линейной интерполяции получаем значение .Оно отличается от значения менее чем на 3%.

Окончательно принимаем:

, , .

в) Определим величины критической силы и коэффициента запаса устойчивости.

Так как гибкость стержня больше , то критическую силу определяем по формуле Эйлера

.

Тогда коэффициент запаса устойчивости равен

.

Примечание. Для круглого сплошного поперечного сечения с диаметром (рис. 3.1 б) имеем

, .

Для полого поперечного сечения площадь и минимальный момент инерции определяется как разность соответствующих величин для сплошного сечения и отверстия.

Для стального стержня, жестко защемленного одним концом и шарнирно опертого другим концом (схемы 1, 3, 5, 7, 9) коэффициент приведения длины равен = 2/3.

Библиографический список

1. Ковалев Н.Ф. Прикладная механика. Учебник для втузов. М.: Высшая школа. 1982. 400 с.

2. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – 9 –е изд., перераб.-М.: наука, 1986. 512 с.

Приложение

Образец титульного листа

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет»

Кафедра «Теоретическая и прикладная механика»

Контрольная Работа № 1

по дисциплине «Прикладная механика»

Раздел «Сопротивление материалов»

Вариант 367

Выполнил студент гр. ЭМ-121 Иванов Ю.И.

Принял доцент Петров В.A.

Воронеж 2013

Содержание

Введение 1

1. Задача №1. по теме «Расчеты на прочность и 2

жесткость при кручении валаа круглого сечения»

2. Задача № 2 по теме «Расчет на прочность при 9

изгибе балки»

3. Задача № 3 по теме «Расчет на устойчивость 17

призматического стержня при сжатии»

4. Библиографический список 24

Приложение. Пример оформления 25

титульного листа контрольной работы

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по выполнению контрольной работы № 1

по разделу «Сопротивление материалов»

дисциплины «Прикладная механика» для студентов

направления 140400.62 «Электроэнергетика и электротехника»

(профиль «Электропривод и автоматика»)

заочной формы обучения

Составители: Рябцев Владимир Андреевич

Хван Александр Дмитриевич

Свиридов Сергей Иванович

В авторской редакции

Подписано к изданию 25.12.2013.

Уч.-изд. л. 1,6. «С»

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет»