7 Расчет зацеплений на прочность

7.1 Прочностные расчеты фрикционных передач и мальтийских механизмов

Основным критерием работоспособности и расчета фрикционных передач с металлическими роликами или дисками является их контактная прочность, которая зависит от значения контактных напряжений

, (49)

где - приведенный модуль упругости;

r_np=r₁ r₂/(r₁+r₂) – приведенный радиус;

F – сила притяжения двух дисков;

r₁ и r₂ – радиусы кривизны в точках контакта;

₁ и ₂ – коэффициенты Пуассона материалов двух дисков;

Е₁ и E₂ – модули упругости этих дисков;

b – ширина площадки контакта;

23

[б_н] – допускаемое контактное напряжение для менее прочного из материалов этих дисков. Наиболее распространено сочетание материалов дисков (роликов): закаленная сталь по закаленной стали; текстолит (гетинакс) по стали, бронза или латунь по стали. Для закаленных сталей [б_н] = 800-1600 МПа, для текстолита [б_н] = 80-100МПа, для латуни (бронзы) по стали [б_н] =200-350 МПа. Для фрикционной передачи с гибкой связью наибольшего значения напряжения достигают в сечении ремня при набегании его на малый шкив

[б_н] , (50)

где Е- модуль упругости ремня;

- его толщина;

Т₁-вращающий момент на валу, диаметром D₁;

S – площадь поперечного сечения гибкой связи;

₀ = F_o/S – напряжение предварительного натяжения, равное для резинотканевых ремней б_о=1.8 МПа, для синтетических б_о= 10 МПа, для клиновых б_о = 1.2 1.5 МПа. Модуль упругости равен E = 200300 МПа для резинотканевых, для капроновых E=600 MПа, для клиновых E=500600 МПа.

Условие (49) используют для определения межосевого расстояния фрикционной передачи /2/

. (51)

Знак «плюс» ставиться при внешнем контакте катков, а знак «минус» - при внутреннем, считая и E_np=2E₁E₂/(E₁+E₂), а ширина диска , где - коэффициент ширины ролика. При известном межосевом расстоянии диаметры катков находят из очевидных формул

.

24

Уточнив геометрические параметры передачи, определяют и проверяют условие (49). Расчет на прочность мальтийского механизма проводят аналогично, рассматривая кривизну замков креста и кривошипа, и выбирая им соответствующие материалы.

7.2 Расчет на изностойкость механизма винт-гайка

Расчет сводится к определению фактического среднего контактного напряжения (давления) p между витками винта и гайки и сравнению его допускаемым [р]. Условие изностойкости в предположении равномерного распределения нагрузки по виткам резьбы равно

, (52)

где d₂ и h₁ – средний диаметр и рабочая высота профиля резьбы;

z – число витков;

[p]- допускаемое контактное давление;

F_a – осевая сила.

Допускаемые напряжения для пар материалов винт-гайка: закаленная сталь – бронза [p] =1013 МПа, незакаленная сталь и бронза [p] = 810 МПа. Для механизмов точных перемещений значения [p] принимают в 2-3 раза меньше, чем для механизмов общего назначения.

Заменив в приведенной выше формуле z на p₁, где p₁ – шаг резьбы, h – высота витка и обозначив - коэффициент высоты гайки, - коэффициент рабочей высоты профиля резьбы, получим формулу для проектировочного расчета передачи

25

. (53)

Принимают для трапецеидальной и для упорной резьбы, для цельных гаек и для разъемных гаек. Длину винта выбирают конструктивно в зависимости от требуемого перемещения . Наружный диаметр гайки D определяют из условия прочности ее тела на растяжение и кручение

, (54)

где k =1.25 для трапецеидальных и к=1.2 для прямоугольных и метрических резьб;

[б_р] – допускаемое напряжение на растяжение для бронзы равное 32  44 МПа.

7.3 Расчет на прочность цилиндрических и конических зубчатых передач.

Определение контактной прочности рабочих поверхностей зубьев производит в полюсе зацеплений П. Контакт зубьев рассматривают как контакт двух цилиндров с радиусами r₁ и r₂, а формулу (41) записывают в виде ₁~₂~

(55)

где для прямозубых передач нормальная нагрузка

,. (56)

- коэффициенты нагрузки, учитывающие соответственно распределение нагрузки между зубьями (для прямозубых ), неравномерность распределения

26

нагрузки по ширине зубчатого венца и дополнительные динамические нагрузки; - суммарная длина контактных линий, зависящая от коэффициента торцевого перекрытия  и ширины венца колес b₂ (при однопарном зацеплении) и 2b₂ (для двухпарного зацепления).

При расчете l₀ определяют по формуле

, где . (57)

Приведенный радиус кривизны равен

., (58)

где и - радиусы эвольвентных профилей зубьев. Подставив значения q и r_np в формулу (47) и заменив , получим

, (59)

, (60)

где - коэффициент, учитывающий механические свойства материала сопряженных зубчатых колес, для стальных равный мм;

- коэффициент, учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев в полюсе П, при , ; - коэффициент, учитывающий суммарную длину контактных линий, для прямозубых передач . Для не стальных зубчатых колес имеем

27

. (61)

Учитывая, что F_t=2T₂/d₂, где d₂=2a_wU/(U+1) и заменив d₁ = d₂/U, K_H = 1, получим формулу проверочного расчета прямозубых передач

, (62)

где б_н и [б_н] – расчетное и допускаемые контактные напряжения, Н/мм²; Т – Н мм; а_w и b₂ – мм.

Учитывая, что , получим формулу проектировочного расчета прямозубых передач

. (63)

Рассчитанные значения a_w (мм) выбирают из ряда: 20; 30; 40; 50; 63; 80; 100; 125; 140; 160; 180; 200; 224; 250; 280; 315; 355; 400; и т.д.

Поскольку для зубчатых колес используют не только сталь, но и другие материалы выражение для a_w принимает следующий вид:

. (64)

где E_np – приведенный модуль.

Обычно принимают значения К_нv=1.25, К _H = 1.

Далее, рассматривая зуб как консольную балку, определяют напряжение изгиба в опасном сечении по формуле /1,2/

. (65)

где б_f и [б_f] – расчетное и допускаемое напряжение изгиба, Н/мм²;

F_t – окружная сила, Н;

28

m – модуль, мм;

Y_f – коэффициент формы зуба, безразмерная величина, зависящая от числа зубьев Z;

- коэффициенты, учитывающие неравномерность распределения нагрузки по ширине зубчатого венца и дополнительной динамической нагрузки в зацеплении. При твердости материала хотя бы одного из колес меньше 350 НВ и скорости м/с , что практически наблюдается для большинства зубчатых передач РЭС, принимают =1 и . Значения для зубчатых колес без смещения равны /7/ (таблица 4). Из-за меньшего числа зубьев зуб шестерни у основания более тонкий, чем у колеса, что отражено в большем значении Y_f. Для обеспечения примерно равной прочности зубьев шестерни и колеса на изгиб, шестерню делают из более прочного материала, чем колесо. Зубья шестерни и колеса будут иметь примерно равную прочность при условии: [б_f]₁/Y_f1~[б_f2]. Модуль зубьев m определяют расчетом на изгиб исходя из межосевого расстояния a_w, полученного из условия контактной прочности. В этом случае, заменяя F_t=2 T₂/d₂, где d₂ = 2 a_w U/(U+1), получим для модуля следующее выражение:

(66)

В формулу (56) вместо [б_f] подставляют меньшее из значений [б_f1] и [б_f2]. Полученное значение модуля округляют в большую сторону до стандартного значения.

Таблица 4- Значения параметра Y_f

Z	17	20	22	24	26	30	35	40	50	80	>100
Yf	4.27	4.07	3.98	3.92	3.88	3.8	3.75	3.7	3.65	3.6	3.6

29

Формула (56) является основной для определения m прямозубых передач, рассчитываемых на контактную прочность. При этом обеспечивается примерно равная контактная и изгибная прочность зубьев.

Допускаемые контактные напряжения определяют по формуле (МПа)

. (67)

где б_но – предел контактной выносливости рабочих поверхностей зубьев, соответствующий базе испытаний (числу циклов перемены напряжений);

[S_н] – допускаемый коэффициент безопасности, равный [S_н] = 1.1 , при однородной структуре материала (нормализация, улучшение, объемная закалка) и [S_н] = 1.2 при неоднородной структуре (поверхностная закалка, цементация, азотирование);

К_н1 – коэффициент долговечности, учитывающий влияние срока службы и режима нагрузки

. (68)

Где =60 nt – расчетное число циклов нагружения на весь срок службы, n –частота вращения колес (об/мин), t – срок службы (ч).

Обычно при длительной работе передачи выбирают К_н1~1. При расчете цилиндрических прямозубых передач в качестве допускаемого контактного напряжения [б_н1], [б_н2] принимают [б_н] того зубчатого колеса, для которого оно меньше, как правило, это [б_н2], т.е. [б_н]=[б_н2]. Допускаемое напряжение изгиба [б_f], МПа, определяют из основания

. (69)

где б_fo – предел выносливости зубьев при изгибе,

30

соответствующий базе испытаний;

[S_f] – допускаемый коэффициент безопасности равный [S_f] = 1,75 из штампованных и [S_f]= 2.3 – из литых заготовок;

K_fc – коэффициент, учитывающий влияние приложения нагрузки, K_fc=1 при односторонним приложении нагрузки (передача нереверсная) и K_fc=0.7 -0.8 при двухстороннем приложении нагрузки (передача реверсная);

K_f1- коэффициент долговечности; при твердости 350 НВ 1 K_f1 1,63; при длительно работающей передаче выбирают K_f1=1.

Пределы контактной и изгибной выносливости зубьев определяют из таблицы 5.

Расчет на прочность начинают с выбора материала, условий термообработки и способов изготовления колес, а затем находят [б_н1], [б_н2], [б_f1], [б_f2], задаваясь наименьшим [б_H] и [б_f] определяют a_w и m. Далее, округляя эти значения до стандартных a_wc и m_c, рассчитывают и проверяют условия прочности (64) и (66) для стандартных a_wc и m_c. Если условия прочности выполняются, то расчет закончен, если не выполняются, то изменяют материал и условия термообработки.

Допускаемые контактные напряжения для колес, изготовленных из латуней и бронза, определяются выражениями , где бь – предел прочности на растяжение и . При проверочном расчете конических прямозубых передач сначала определяют внешний делительный диаметр колес по формуле /7/

. (70)

Значения d₁₂ регламентированы ГОСТ 12289-76. При известном d₁₂ формула проверочного расчета прямозубых конических передач на контактную прочность имеет вид

31

, (71)

где и - допустимое и расчетное контактное напряжения, МПа; Т₂ – крутящий момент Н мм, d₁₂ – мм. Коэффициент динамической нагрузки при твердости поверхности зубьев колеса 350 НВ равен К_nv= 1.2 при 250 НВ, значения К_nv=1.1.

Таблица 5- Выбор марок сталей

Термообработка	Марка сталей	бно , Н/мм2	бfo , Н/мм2
Нормализация, Улучшение	35; 45 40Х; 40ХН; 85ХМ	2НВ +70	1.8НВ
Закалка ТВ4 по контуру зубьев	40Х; 35ХМ; 40ХН; 45ХП	17HRCэ+200	650
Закалка ТВЧ сквозная (m<3 мм), Цементизация и закалка	20Х; 20ХН2М; 18ХГТ	23 HRCэ	550 800

Коэффициент неравномерности распределения нагрузки по ширине зубчатого венца К_f =1.01 -1.02 /5/. Внешний окружной модуль определяют расчетом на изгиб по формуле

. (72)

где v_f – коэффициент вида конических колес;

32

для прямозубых колес v_f=0.85;

= 1.0 для колес с прямыми зубьями;

b – ширина зубчатого венца.

Полученное значение m можно округлить до стандартного, затем определятся эквивалентное число зубьев шестерни и колеса

(73)

(74)

и для них находиться коэффициент формы зуба Y_f1 и Y_f2 /4/.

7.4 Расчет на прочность червячных передач

Расчет на контактную прочность зубьев червячного колеса проводят по аналогии с расчетом зубчатых передач по формуле (49), в которой величина нормальной нагрузки q на единицу длины контактных линий колеса и червяка равна

. (75)

В осевом сечении витка червяка имеют профиль прямобочной рейки с радиусом кривизны r₁= , поэтому приведенный радиус кривизны r_np червячной пары равен радиусу кривизны профиля червячного колеса в полюсе зацепления

. (76)

Приведенный модуль упругости

Е_np = 2E₁>E₂/E₁+E₂,

где E₁=2.1·10⁵ МПа – модуль упругости стального колеса и E₂=0.98·10⁵ МПа – модуль упругости бронзового колеса.

33

В связи с этим приведенный модуль равен E_np =1.33·10⁵ МПа, принимая коэффициент Пуассона равным ₁ =₂ =0.3. Подставив выражения для q, r_np, E_np в формулу (49), после преобразования получают формулу проверочного расчета на контактную прочность /7/

. (77)

Где б_н2 и [б_н2] – расчетное и допускаемое контактные напряжения в зубьях колес, Н/мм², а_w – межосевое расстояние, мм, Т₂ – вращающий момент на червячном колесе, Н-мм. Решив это уравнение относительно а, получаем формулу проективного расчета червячных передач

. (78)

Где К_н = К·К_V , величина К – коэффициент концентрации нагрузки, близкий к единице К ~1.0; К_v – коэффициент динамической нагрузки, зависящий от окружности червячного колеса V₂. Окружную скорость V₂ рассчитывают по формуле

(79)

где n₁ – частота вращения червяка;

U – передаточное число;

d₂ – делительный диаметр колеса.

Для окружной скорости червячного колеса м/с принимают K_v =1, а при V₂> 3 м/с, К_v =1.1 -1.3.

Далее определяют прочность зубьев червячного колеса на изгиб

, (80)

где коэффициент формы зуба Y_f2 выбирают в зависимость от эквивалентного числа зубьев этого колеса

34

.

Коэффициент нагрузки равен K_f 1.0. Допускаемые контактные напряжения для колес из оловянных бронза (Бр010Ф1 и др.) определяют из условия

[б_н2]=[б_но]×С_v×K_н1.

Таблица 6- Зависимость Y_f2 от эквивалентного числа зубьев колеса

Zv2	28	30	32	35	37	40
Yf2	1.8	1.76	1.71	1.64	1.61	1.55
Zv2	45	50	60	80	100	120
Yf2	1.48	1.45	1.4	1.34	1.3	1.3

Где [б_но] = 0.9 _b – допускаемое контактное напряжение при числе циклов перемены напряжений N_н =10⁷;

_b – предел прочности бронзы при растяжении;

С_v- коэффициент износа зубьев колеса зависит от скорости скольжения V_s=4.3·10^-4 (м/с).

К_н1 – коэффициент долговечности равный , если N₂>25·10⁷, то К_н1~0.67.

Таблица 7- Зависимость V_s от С_v

Vs, м/с	1	2	3	4	5	6	7	8
Cv	1.33	1.21	1.11	1.02	0.95	0.88	0.83	0.80

Обычно при полном ресурсе службы t = 20000 ч, n₁~100 об/мин. К_н1~0.76. Допускаемые контактные напряжения для колес из безоловянных бронз, латуней (БрА9ЖЗЛ, ЛП23А6Ж3Мц2) рассчитывают: б_и2=300-25·V_s (для бронзы), и б_и2=275-25·V_s (для латуней), они зависят от скорости V_s

35

. Допускаемые напряжения изгиба при не реверсивной передаче (зубья работают одной стороной) для всех марок бронзы и латуней

(81)

где б_т – предел текучести; , - коэффициент долговечности при расчете на изгиб, N₂ – число циклов нагружения зубьев колеса. Если N₂=10⁶, то К_f1=1.0; при N₂=9·10⁷, К_н1=0.61.

Обычно значение К_н выбирают равному последнему значению. При реверсивной передаче (зубья работают обеими сторонами) – [б_f]=0.8[б_f]₂.