Уравнения параболического типа.
Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле
Рассмотрим твердое тело, температура которого в точке (х, у, x) в момент времени t определяется функцией
u(х, у, z, t). Если различные части тела находятся при различной температуре, то в теле будет происходить движение тепла от более нагретых частей к менее нагретым. Тогда можно получить уравнение теплопроводности неоднородного изотропного тела. Если тело однородно, то γ, ρ и к — постоянные и уравнение можно переписать в виде
где
Если в рассматриваемом однородном теле нет источников тепла, т е. F(x, у, z, t) = 0, то получим однородное уравнение теплопроводности
В частном случае, когда температура зависит только от координат х, у и t, уравнение переходит в следующее:
Наконец,
для тела линейного размера, например
для тонкого однородного стержня,
уравнение теплопроводности примет вид:
Чтобы найти температуру внутри тела в любой момент времени, недостаточно одного основного уравнения . Необходимо, как это следует из физических соображений, знать еще распределение температуры внутри тела в начальный момент времени (начальное условие) и тепловой режим на границе S тела (граничное условие).
Решение задачи теплопроводности
бесконечного стержня
Пусть
в стержне бесконечной длинны
задано начальное распределение
температур. Требуется найти температуру
в
любой точке
в
любой момент времени
Это означает, что требуется найти решение
дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию
Пусть
преобразования
Фурье по переменной х
функций
,
тогда
Применяя
преобразование Фурье к левой и правой
части основного уравнения и начального
условия , приходим к следующей задаче.
Найти решение дифференциального
уравнения 
удовлетворяющее
начальному условию
Решение
этой задачи имеет вид
Искомая функция
находится
с помощью обратного преобразования
Фурье:
или
где
то есть
Вычислим
интеграл
.
Имеем
Функция
-
четная, а функция
-
нечетная по переменной
.
Поэтому
Следовательно
В последнем интеграле сделаем замену
переменной
и обозначим
получим
Положим
Тогда
Так
как
(интеграл
Пуассона), то функция
удовлетворяет
дифференциальному уравнению
и
начальному условию
Решение этой задачи
Таким
образом,
следовательно
-
называется формулой Пуассона.
Задача теплопроводности в бесконечном цилиндре
Пусть
в бесконечном цилиндре
задано
начальное распределение температур,
граничные точки цилиндра поддерживаются
при нулевой температуре. Требуется
найти температуру в любой точке цилиндра
в любой момент времени
.
Мы рассмотрим частный случай этой
задачи, когда начальное распределение
температур не зависит от переменной z
и не зависит от полярного угла
.
Это значит, что и решение этой задачи
не зависит от z
и
.
Требуется найти решение
дифференциального
уравнения
удовлетворяющее
начальному условию
и
граничным условиям
Сначала
найдем ненулевые решения нашего
уравнения, удовлетворяющие только
граничным условиям. Эти решения будем
искать в виде
где
Дифференцируя
функцию
по t
и по r
дважды и подставляя результаты
дифференцирования в наше уравнение,
получим
или
Отсюда
следует, что
Как
известно
уравнение имеет ненулевые решения,
удовлетворяющие граничным условиям
только при
где
-
положительные корни уравнения
и
этими решениями являются функции
При
уравнение
принимает вид
Общим решением этого уравнения являются функции
где
-произвольные
постоянные.
Таким образом, ненулевыми решениями нашего уравнения, удовлетворяющими граничным условиям, являются функции
где
Решение задачи будем искать в виде ряда
коэффициенты,
которого подбираются так, чтобы
выполнялось начальное условие. При
t=0,
имеем
Отсюда следует,
что
или
Решение задачи теплопроводности
в однородном шар
Пусть
в шаре 
распределение
температур, и пусть в точках сферы
поддерживается
нулевая температура. Мы рассмотрим
частный случай этой задачи, когда
начальная температура зависит лишь от
расстояния точки от центра шара и не
зависит от угловых координат этой точки.
Поэтому и при t>0
температура в точках шара зависит лишь
от расстояния этой точки от центра шара.
По этой причине задачу целесообразно
решать в сферической системе координат
.
Как известно, оператор Лапласа в
сферической системе координат имеет
вид
Следовательно,
рассматриваемая задача заключается в
следующем. Найти функцию 
Начальному
условию
и граничным условиям
Условие
вспомогательную функцию
Требуется
найти функцию 
Решение
этой задачи имеет вид
Таким образом, решение задачи теплопроводности в однородном шаре имеет вид:
