5. Релятивистская механика

5.1. Найти собственную длину стержня, если в лабораторной системе отсчета его скорость , длина =1,00 м и угол между ним и направлением движения =45°.

Решение. Суть совокупности условий задачи отображена на рис.1. Пусть вК’ – системе длина стержня равна (собственная длина), а угол, образованный с осью Х’, есть . По формулам преобразований длины и угла получим: проекции стержня в К’ – системе , .

Собственная длина стержня

м.

5.2. Две частицы, двигавшиеся в лабораторной системе отсчета по одной прямой с одинаковой скоростью , попали в неподвижную мишень с промежутком времени = 50 нс. Найти собственное расстояние между частицами до попадания в мишень.

Решение. Расстояние между частицами в лабораторной системе отсчёта . Собственное расстояние между частицами .

5.3. Найти зависимость импульса частицы с массой от ее кинетической энергии. Вычислить импульс протона с кинетической энергией 500 МэВ.

Решение.Импульс и кинематическая энергия релятивистской час­тицы определены выражениями:

(1), (2).

На основании представлений (1) и (2) можно установить связь между модулями импульса частицы и ее кинетической энергии. Поступим так. Из равенства (2) получим: (3) и (4). Далее: на основании (3) имеем:

(5). Модуль импульса частицы . Подставляя сюда (4) и (5), получим соотношение между величинами р иТ: (6). Для про­тона, масса которого m_p=938,26 МэВ и заданная энергия Т=500 МэВ, импульс .

5.4. Частица массы m движется вдоль оси X К-системы отсчета по закону , где некоторая постоянная, – скорость света, – время. Найти силу, действующую на частицу в этой системе отсчета.

Решение. Согласно закону динамики сила, действующая на частицу, равна . В условиях задачи , , где - орт оси Х К-системы отсчета. Тогда , где . Далее: ; ; Итак, сила, действующая на частицу, равна .

5.5 '-система перемещается с постоянной скоростью относительно-системы. Найти ускорение частицы в '-системе, если в -системе она движется со скоростью и ускорением а по прямой:

а) в направлении вектора ;

б) перпендикулярно вектору .

Р ешение. Здесь потребуются преобразования времени (1) и компонент скорости:

(2), (3).

а) Рис. В данном случае . От равенств (1) – (3) перейдём к соответст­вующим равенствам в дифференциалах: (4), (5), (6). При делении (5) и (6) на (4) получим:

, т.е. .

б) Рис.2. В этом случае из преобразований (2) и (3) следует , , , , ; Это означает, что

5.6. Частица массы m в момент = 0 начинает двигаться под действием постоянной силы . Найти скорость частицы и пройденный ею путь в зависимости от времени .

Решение. Обратимся к уравнению движения релятивистской частицы

t=0

. Так как =0 и - постоянная, частица будет двигаться по прямой и, следовательно, можно перейти к скалярной форме уравнения движения (1). Интегрируя равенство (1) и учитывая начальное условие , получим .

Отсюда можем найти скорость частицы: . Путь частицы, пройденный к моменту времени t, равен .

5.7. Неподвижная частица массы распадается на три частицы масс . Найти наибольшую полную энергию, которую может иметь, например, частица .

Решение. Покоящаяся частица массы m₀ распадается на три осколка масс m₁, m₂, m₃. Обозначим импульсы и энергии, обра­зовавшихся частиц соответственно: и , при этом . Требуется найти максимальную энергию ка­кой-либо частицы, например, частицы массы m₁. Энергия этой частицы будет иметь максимальное значение, если сумма энергий других частиц минимальна.

Полная энергия Е и импульс релятивистской частицы связаны между собой соотношением . Отсюда следует, что частица m₁ будет иметь максимальную энергию, если модуль ее импульса р будет наибольшим. Поэтому необ­ходимо исследовать вопрос о соотношении импульсов частиц распада. Согласно закону сохранения импульса в данном случае и, следовательно, (1), где - угол между векторами и (см. рис. 1). Из соотношения (1) видно, что , если , т. е. . Следовательно, векторы и сонаправлены и противопо­ложны вектору , т. е. удовлетворяется условие (2). При этом условим . Теперь предстоит получить это значение, принимая в последующем как постоянную вели­чину. С этой целью будем находить соотношение между и с тем, чтобы энергия была бы минималь­ной. Пусть и (3). Тогда (4). Исследуем зависи­мость на экстремум. Производная (5). Из усло­вия находим (6). Подставляя (6) в (4), находим

(6). Вторая производная . Знак + этой производной очевиден, если обратить внимание на второе слагаемое выражения (5). Таким образом, величина имеет наименьшее значение. Сделав подстановку получим сначала Е, а затем уравнение для Е₁: . (7). Разрешая уравнение (7) относительно Е₁, находим