Равномерная дискретизация

При равномерной дискретизации шаг Δt и частота отсчетов являются постоянными величинами. На рис. 2.2 изображена функциональная схема дискретизации.

ИИ – источник информации,

ГТИ – генератор тактовых импульсов,

П – прерыватель,

Д – дискретизатор

Рис. 2.2

Выбор частоты отсчетов

По теореме В.А. Котельникова функция с ограниченным спектром полностью определяется дискретным множеством своих значений (отсчетов), взятых с частотой F=2f_m, где f_m – максимальная частота в спектре S( ) сигнала х(t) (рис. 2.3). В этом случае функция х(t) восстанавливается без погрешностей с помощью интерполяционного ряда

,

где интервал .

Рис. 2.3

Реальные сигналы имеют конечную длительность. Спектр таких сигналов не ограничен, поэтому применение теоремы Котельникова приводит к погрешностям восстановления и проблемам в выборе шага квантования. Но когда речь идет о приближенном восстановлении с заданной точностью, то теорему можно применять и для сигналов с неограниченным спектром (рис. 2.4).

На практике частоту отсчетов определяют по формуле F_o=K₃2f_max, где К₃ ‑ коэффициент запаса, f_max – условно-максимальная частота с учетом доли энергии в спектре, ограниченном частотой f_max ( _max).

Рис. 2.4

Квантование по уровню

Квантование сигнала х(t) по уровню состоит в преобразовании непрерывных значений х(t_i) в моменты отсчета t_i в дискретные х_k (рис. 2.5).

В результате непрерывное множество значений х(t_i) в диапазоне от х_min до х_max превращается в дискретное множество х_k уровней квантования, где k=1,. . . m.

При равномерном квантовании шаг квантования δ=(х_max- х_min)/m.

Если истинное значение отсчета в некоторый момент времени лежит внутри интервала δ_к, то его значение заменяется значением k-го уровня.

Оптимальным в смысле точности воспроизведения квантованного сигнала будет расположение уровня квантования в середине шага квантования.

Значения сигнала х(t_i) могут быть отнесены к тому или иному уровню квантования следующим образом:

1. сигнал х(t_i) отождествляется с ближним уровнем квантования;

2. сигнал х(t_i) отождествляется с ближним меньшим (большим) уровнем квантования.

Устройство для квантования сигналов – квантизатор (рис. 2.6, а) представляет собой нелинейный элемент с амплитудной характеристикой, представленной на рис. 2.6, б ‑ при отождествлении сигнала с ближним меньшим уровнем квантования или, приведенной на рис. 2.6, в ‑ в случае отождествления сигнала с ближайшим уровнем.

При квантовании возникает обязательная ошибка, которая не может быть устранена, т.е. квантованный сигнал х_к(t_i) есть сумма истинного сигнала х(t_i) и ошибки Δх_к (помехи), т.е. х_к(t_i) = х(t_i) + Δх_к. Помеха Δх_к называется шумом квантования.

На рис. 2.6 (г, д) отображены ошибки квантования для обоих способов квантования.

Рис. 2.5

а)

б)

в)

Рис. 2.6

Для k-го уровня квантования (k=0…,m-1) математическое ожидание ошибки и её дисперсия могут быть найдены из соотношений

,

,

где ‑ плотность распределения величины .

Если интервал мал по сравнению с диапазоном изменения сигнала, а плотность постоянна и равна , то

,

и тогда

;

.

Дисперсия полной погрешности квантования в диапазоне от x_min до x_max по всем уровням квантования будет .

Для равномерного шага , и если , то и среднеквадратическая погрешность квантования сигнала по уровню для равномерного распределения .