Примеры решения задач

Пример 1. Найти интеграл .

Решение. Представим данный интеграл в следующем виде:

.

Отсюда видно, что под знаком интеграла стоит дифференциальный бином, при этом , , . Так как - не целое число, то данный интеграл не относится к первому случаю. - целое число, поэтому данный интеграл относится ко второму случаю и соответствующая подстановка: . Выражаем отсюда и находим . Таким образом,

.

Пример 2. Найти интеграл .

Решение. Представим данный интеграл в следующем виде:

.

Отсюда видно, что под знаком интеграла стоит дифференциальный бином, при этом , , . Так как - не целое число, то данный интеграл не относится к первому случаю. - не целое число, значит данный интеграл не относится ко второму случаю. - целое число, поэтому данный интеграл относится к третьему случаю и соответствующая подстановка: . Выражаем отсюда и находим . Таким образом,

.

Пример 3. Найти интеграл .

Решение. Это интеграл вида . В нашем случае , поэтому применим первую подстановку Эйлера: . Возведя обе части равенства в квадрат, получим . Выражаем отсюда и находим . Таким образом,

.

Пример 4. Найти интеграл .

Решение. Это интеграл вида . В нашем случае квадратный трехчлен имеет действительные корни и , поэтому применим третью подстановку Эйлера: . Возведя обе части равенства в квадрат, получим . Выражаем отсюда и находим . Таким образом,

.

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи: [3], 2076, 2078, 2080;

Форма отчетности: устный опрос, типовой расчет, контрольная работа.

Занятия № 16 приложения определенного интеграла

Литература: [1], c. 429-448;

Контрольные вопросы и задания

1. Как вычислить с помощью определенного интеграла площадь плоской фигуры в случае задания ее границы в явном виде, в полярных координатах, параметрическими уравнениями?

2. Вычислите с помощью определенного интеграла длину дуги кривой в случае задания ее уравнением в явном виде, параметрическом виде, в полярных координатах?

3. Как вычислить объем тела по площадям поперечных сечений; объем тела вращения вокруг оси , оси ?

5. Как вычислить поверхность тела вращения?

6. Как найти величину работы с помощью определенного интеграла?

7. Найдите координаты центра тяжести плоской линии, плоской фигуры?

Примеры решения задач

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями

.

Решение. Изобразим данные линии и заштрихуем искомую площадь (рис. 1). Найдем значения параметра , соответствующие точкам пересечения данных кривых. Для этого решаем уравнение или и получаем (соответствует точке B) и (соответствует точке C). Точке A соответствует значение параметра так как и .

Р ис. 1

Площадь фигуры находим как удвоенную площадь верхней половины , интегрируя при этом в направлении возрастания от точки до точки :

.

Пример 2. Найти площадь фигуры, лежащей вне окружности и ограниченной кривой .

Решение. Так как функция имеет период , то при изменении от до радиус-вектор описывает два равных лепестка кривой. При этом допустимыми для являются те значения, при которых , откуда

.

Следовательно, один из лепестков описывается при изменении от до . Второй лепесток получается при изменении от до (рис. 10). Вырезая из лепестков части, принадлежащие кругу , мы получим фигуру, площадь которой нужно определить. Ясно, что искомая площадь . В свою очередь . Точкам и соответствует значение полярного угла . Найдем полярные координаты точки пересечения данных кривых. Для этого решим уравнение т.е. . Между и находится только корень . Таким образом, точке соответствует полярный угол .

Рис. 2

Далее определяем искомую площадь:

.

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и .

Решение. Так как при , то первая кривая лежит в верхней полуплоскости и проходит через полюс . Чтобы построить ее перейдем в декартовые координаты, пользуясь соотношениями и . Получаем . Приведя это уравнение к каноническому виду, будем иметь . Это уравнение окружности с центром и радиусом равным (рис. 11). Вторая кривая определена при т.е. при и также проходит через полюс . Преобразуем уравнение второй кривой

и перейдем в декартовые координаты

.

Приведем полученное уравнение к каноническому виду: . Видно, что это уравнение окружности с центром и радиусом равным (рис. 2).

Из вышесказанного следует, что полюс есть точка пересечения окружностей. Другая точка пересечения окружностей находится из решения уравнения или , откуда . Из рис. 3 видно, что искомая площадь S равна сумме площадей сегментов и , причем сегменты примыкают друг к другу по лучу . Дуга первого сегмента описывается концом полярного радиуса второй окружности при , поэтому его площадь

.

Р ис. 3

Дуга второго сегмента описывается концом полярного радиуса первой окружности при , поэтому его площадь

.

Таким образом, искомая площадь .

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми и .

Решение. Определим область, в которой расположена первая кривая. Для этого решим неравенство . Получаем . Так как , то в декартовых координатах уравнение первой кривой запишется следующим образом или в каноническом виде – это уравнение окружности с центром и радиусом равным . Окружность расположена в правой полуплоскости и проходит через полюс (рис. 4).

Рис. 4

Для построения второй кривой решаем неравенство . Получаем . Видно, что при граничных значениях полярного угла , а при достигает максимального значения (рис. 4).

Из вышеизложенного следует, что одной точкой пересечения данных кривых является полюс. Найдем остальные точки пересечения кривых. Для этого решим систему

.

Здесь указан диапазон углов, общих для обеих кривых. Приравнивая правые части уравнений, получаем

,

,

, , .

Из рис. 12 видно, что искомая площадь равна сумме площадей и двух сегментов, причем сегменты примыкают друг к другу по лучу . Дуга первого сегмента описывается концом полярного радиуса при изменении полярного угла от до , поэтому

.

Дуга второго сегмента описывается концом полярного радиуса при изменении полярного угла от до , поэтому

.

Таким образом, искомая площадь равна

.

Задачи и упражнения для самостоятельного решения

Решить задачи: [6], 6.456, 6.470, 6.478, 6.480, 6.485, 6.494, 6.502, 6.509, 6.512, 6.521, 6.534, 6.535, 6.537, 6.562, 6.575.

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа, коллоквиум.