1.9. Уравнение колебаний мембраны.

Мембраной называют свободно изгибающуюся натянутую пленку. Пусть в положении равновесия мембрана расположена в плоскости хОу и занимает некоторую область D, ограниченную замкнутой кривой L. Далее предположим, что мембрана находится под действием равномерного натяжения Т, приложенного к краям мембраны. Это означает, что если провести линию по мембране в любом направлении, то сила взаимодействия между двумя частями, разделенными элементами линии, пропорциональна длине элемента и перпендикулярна его направлению; величина силы, действующая на элемент ds линии, будет равна Tds. Будем рассматривать только поперечные колебания мембраны, при которых каждая ее точка движется перпендикулярно плоскости хОу, параллельно оси Оu. Тогда смещение и точки (х, у) мембраны будет функцией от х, у и t. Рассматривая далее только малые колебания мембраны, будем считать, что функция u(х, у, t), а также ее частные производные по х и у малы, так что квадратами и произведениями их можно пренебречь по сравнению с самими этими величинами. Выделим произвольный участок (σ) мембраны, ограниченный в положении равновесия кривой L . Когда мембрана будет выведена из положения равновесия, этот участок мембраны деформируется в участок σ^/ поверхности мембраны, ограниченный пространственной кривой l^/. Площадь участка σ^/ в момент времени t равна

Таким образом, при наших предположениях можно пренебречь изменением площади произвольно взятого участка мембраны в процессе колебаний и считать, что любой участок σ^/ мембраны будет находиться под действием первоначального натяжения Т.

Перейдем к выводу уравнения поперечных колебаний мембраны. Рассмотрим произвольный участок σ^/ мембраны. Со стороны остальной части мембраны на этот участок действует направленное по нормали к контуру l^/ равномерно распределенное натяжение Т, лежащее в касательной плоскости к поверхности мембраны. Найдем проекцию на ось Оu сил натяжения, приложенных к кривой L^/, ограничивающей участок σ^/ мембраны. Обозначим через ds' элемент дуги кривой dl^/. На этот элемент действует натяжение, равное по величине Tds'. Косинус угла, образованного вектором натяжения Т с осью Оu, очевидно, равен, в силу наших предположений, , где n — направление внешней нормали к кривой l, ограничивающей участок а мембраны в положении равновесия

Рис. 1.16.

(рис. 1.16). Отсюда следует, что проекция на ось Оu сил натяжения, приложенных к элементу ds' контура, равна и, стало быть, проекция на ось Оu сил натяжения, приложенных ко всему контуру, равна

Так как при малых колебаниях мембраны можно считать ds≈ ds', то, применяя формулу Грина, получим

Предположим далее, что на мембрану параллельно оси Оu действует внешняя сила р (х, у, t), рассчитанная на единицу площади. Тогда проекция на ось Оu внешней силы действующей на участок σ^/ мембраны, будет равна

Силы должны в любой момент времени t уравновешиваться силами инерции участка σ^/ мембраны

где 𝝆(х, у) — поверхностная ,плотность мембраны.

Таким образом, мы получаем равенство

Отсюда в силу произвольности площадки следует, что

Это есть дифференциальное уравнение поперечных колебаний мембраны. В случае однородной мембраны

= const уравнение малых колебаний мембраны можно записать в виде

где

Если внешняя сила отсутствует, т. е. р(х, у, t) = 0, то получаем уравнение свободных колебаний однородной мембраны

Как и при рассмотрении колебаний струны, одного этого уравнения недостаточно для полного определения движения мембраны; нужно задать смещение и скорость ее точек в начальный момент времени:

Далее, так как на контуре L мембрана закреплена, то должно быть при любом t≥0.