2. Построение рисунка совместного распределения
При анализе характера связи двух непрерывных переменных желательно тоже иметь графическое выражение характера связи. Для этого выполним команду Graphs / Scatterи выберем две интересующие нас переменные по осямXиY. Например, проанализируем характер связи ЧСС(pulse of the patient in minuite) и частоты дыхания (respiratory rate), коэффициент корреляции между которыми был около +0,5:
В результате получили
На графике каждая пара переменных представлена точкой с соответствующими координатами. Здесь каждый больной обозначается квадратиком, и хорошо видно, что с увеличением одного показателя в целом увеличивается другой.
В SPSSможно также маркеры делать в зависимости от значения третьей переменной. Например, выберем «Умер» в качестве таковой:
В результате получили:
Видно, что умершие (зеленые квадратики) больше группируются в правом верхнем углу, соответствующем учащенным частотам дыхания и сердцебиения.
К сожалению, статистические пакеты определяют лишь достоверность отличия коэффициента корреляции от нуля. Поэтому остальные стандартные расчеты по определению достоверности отличий придется делать «руками».
В этом нам поможет преобразование Фишера. Фишер предложил очень практичное преобразование случайной величины r– выборочного коэффициента корреляции:
z= 0.5ln((1+r)/1-r)).
С помощью этого преобразования плотность распределения величины rпревращается в плотность нормального распределения (распределения Гаусса) величиныzс дисперсиейD= 1/(N-3) и среднимm≈ 0.5ln((1+ρ)/1- ρ)). Иными словами, плотность распределения преобразования Фишера от оценки коэффициента корреляции поNнаблюдениям имеет математическое ожидание, равное преобразованию Фишера от истинного значения коэффициента корреляции ρ = М(r), и дисперсию 1/(N-3). Насколько хорошо преобразование Фишера реализует переход к нормальному распределению иллюстрируют рисунки приведенные ниже.
С помощью z-преобразования можно решать следующие задачи:
1. Согласуется ли выборочный коэффициент корреляции rс предполагаемым значением теоретического коэффициента корреляции ρ.
2. Найти доверительные границы для ρ по наблюденному значению r.
3. Соответствуют два выборочных значения коэффициента корреляции r1 иr2 предполагаемому значению теоретического коэффициента корреляции ρ.
Рассмотрим следующие примеры:
Пример 1.По выборке, состоящей из 25 пар наблюдений, было определено значение коэффициента корреляции равнымr= 0.6 . Найти доверительные границы для истинного коэффициента корреляции ρ.
По заданному значению rнаходимz= 0.693 .
Квадратичное отклонение zравноσ(z) = 1/(25-3)0.5=0.213 .
Значит, доверительными границами для zс уровнем значимости 0.05 будут
z1 = 0.693 – 1.96σ(z) = 0.275 иz2 = 0.693 + 1.96σ(z) = 1.111 .
Из z-преобразования выразимrкак функциюz:r= (e2z -1)/(e2z +1)
и получим доверительные границы для ρ с уровнем значимости 0.05
r1 = 0.268,r2 = 0.804 .
Пример 2. .По выборке, состоящей из 20 пар наблюдений, было найдено, что
r1 = 0.6 . В другой выборке, состоящей из 25 пар наблюдений,r2 = 0.8 . Значимо ли различиеr1и r2?
Вычисляем z1 = 0.693,z2 = 1.099,d=z2 -z1 = 0.406 .
Дисперсии z1,z2 иdравныσ2(z1) = 1/17 = 0.0588,σ2(z2) = 1/22 = 0.0455,
σ2(d) =σ2(z1)+ σ2(z2) = 0.1043 .
Отношение d/σ(d) будет подчиняться нормальному распределению (Гаусса) со среднимm= 0 и дисперсиейD= 1. В нашем случаеd/σ(d) = 1.26 . Поскольку для доверительного уровня р = 0.05 доверительный интервал составит +-2σ= +-1.96, (или приближенно +-2σ≈ +-2 ) отличиеr1 отr2 следует считать незначимым.
Рассмотрим подобные примеры в Excel, так как эта программная среда реализует как прямое так и обратное преобразование Фишера.