Задания для практической работы.

Следующие системы решить по правилу Крамера

1.7.1.8.

1.9. 1.10.

1.11.

Глава II Векторная алгебра.

§ 1. Векторы. Линейные операции над векторами.

Определение 1. Отрезок [АВ] называется направленным, если указано, какая из конечных точек является началом, какая концом.

Определение 2. Вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор

Определение 3. Длина вектора называется модулем вектора. Обозначается

Определение 4. Вектор называется единичным, если его модуль равен 1.

Определение 5. Векторы иназываются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Определение 6. Два вектора называются равными, если они сонаправленно коллинеарны и имеют одинаковые модули.

Определение 7. Вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Сложение векторов

Определение: Суммой +двух векторовиназывается вектор, идущий из начала векторав конец вектора, при условии, что векторприложен к концу вектора.

Свойства сложения:

1 +=+

2. (+)+=+(+)

3. Существует вектор , такой, что+=

4. Для любого вектора , существует, такой что+=

Замечание: Для того, чтобы сложить п векторов нужно начало каждого

последующего вектора поместить в конец предыдущего и вектор, идущий из начала первого вектора в конец последнего будет вектором суммой.

Разность векторов

Для того, чтобы найти разность векторов инужно начала векторов поместить в одну точку и вектор, идущий из конца вектора вычитаемого () в конец уменьшаемого, есть вектор разность.

Умножение вектора на число

Определение: Произведением вектора на действительное числоλ называется вектор = λ , удовлетворяющий следующим условиям:

1) =

2) коллинеарен, еслиλ >0 сонаправлен

если λ<0 противоположно направлен

§2. Линейная зависимость векторов. Базис.

Определение 1. Линейной комбинацией векторов называется сумма произведений этих векторов на произвольные действительные числа, т.е. выражение вида

Определение 2. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют действительные числа не все одновременно равные 0, что линейная комбинация этих векторов с указанными числами обращается в 0.

Определение 3. Векторы называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации возможно лишь в случае, когда все числаравны 0.

Замечание:

Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность; трех - компланарность. Любые четыре вектора линейно зависимы.

Определение 4. Базисом векторного пространства называется упорядоченная система векторов, удовлетворяющая следующим условиям:

1) система линейно независима

2) любой вектор является линейной комбинацией данной системы векторов.

Рассмотрим базис, в котором базисные вектора единичные и взаимно перпендикулярные (ортогональные). Эти вектора принято обозначать . Базис () называется прямоугольным декартовым.

Доказывается, что любой вектор а может быть единственным образом представлен в виде

.

Представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов называется разложением вектора по базису.

Коэффициенты х, у, z в таком разложении называются координатами вектора. Обозначаются .

Свойства координат вектора

1. Для того чтобы найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца, нужно из координат конечной точки вычесть координаты начальной точки.

2. Координаты суммы (разности) векторов равны сумме (разности) соответствующих координат слагаемых векторов.

3. При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число.