Преобразования Лоренца

.

Подобно тому как классические представления о пространстве и времени формулируются количественно с помощью преобразований Галилея для координат и времени, новые релятивистские представления о пространстве и времени формулируются с помощью преобразований Лоренца.

Пусть имеется инерциальная система отсчёта К . координаты любой точки, например, точки В , в этой системе обозначим черезх, у, z , а время через t. Другая инерциальная система К^’ движется с постоянной скоростью относительно системы К , а осиy^’ и z^’ параллельны соответствующим осям y и z (это означает рассмотрение частных преобразований, а не общих). Начало отсчёта времени выбраны таким образом, чтобы в момент времени t = 0 точки О и О^’ совпадали.

и

в К-системе

в К^’-системе . Следовательно

, где

–некоторая константа.

Аналогично: в К^’-системе

в К-системе и

.

Из равноправия систем К и К^’ вытекает, что коэффициент пропорциональности в обоих случаях должен быть один и тот же.

Для произвольной точки В получаем

и

Для нахождения коэффициента используем 2-ой постулат СТО. Пусть в момент времениt = t^* = 0 в направлении осей х и х^* посылается световой сигнал, который производит вспышку на экране в точке В. Это событие описывается координатой х и моментом t в системе К и координатой х^’ и моментом t^’ в системе К^’, причём

и , тогда

Перемножив два последних уравнения, получаем

или .

Для координат получаем

и , где

.

Для получения формулы, определяющей t по известным t^’ и х^’ исключаем координату х из исходной системы уравнений

или

.

Так же получают

.

Зависимости ;;иназываютпреобразованиями Лоренца.

В пределе, при и приβ << 1 преобразования Лоренца практически не отличаются от преобразований Галилея.

Различие в течение времени в разных системах отсчёта обусловлено существованием предельной скорости распространения взаимодействий.

При выражения длястановятся мнимыми. В этом проявляется то обстоятельство, что движение со скоростями, большимис невозможно.

Для запоминания удобна следующая запись

.

Кинематические следствия из преобразований Лоренца

1). Одновременность событий в разных системах отсчёта

Пусть в системе К в точках х₁ и х₂ происходят одновременно два события в момент времени t₁ = t₂ = τ. Тогда в системе К^’ этим событиям будут соответствовать моменты

и , где.

Т.е если в К-системе события пространственно разобщены, то в К^’-системе они не будут одновременными .

Это означает, что в одних системах событие 1 будет предшествовать событию 2, а в других системах может быть наоборот. Сказанное относится лишь к событиям, между которыми отсутствует причинная связь. (Рождение элементарной частицы во всех системах отсчёта происходит раньше её распада и ни в одной из систем ребёнок не рождается раньше его родителей).

2). Длина тел в разных системах

Рассмотрим стержень, расположенный вдоль оси ОХ^’ и покоящийся относительно К^’-системы.

Длина его в этой системе

.

Относительно К-системы стержень движется со скоростью . Для определения его длины в этой К-системе нужно отметить координаты его концовх₁ и х₂ в один и тот же момент времени τ = t₁= t₂ .

Из преобразований Лоренца получаем

и

откуда или.

Таким образом, длина стержня l, измеренная в системе, относительно которой он движется, оказывается меньше длины l₀ , измеренной в системе, относительно которой стержень покоится.

В направлении осей ОУ и OZ размеры стержня одинаковы во всех системах отсчёта.