Вопросы для подготовки к контролям по модулям и экзамену Модуль 1. Интегральное исчисление функций одной переменной

1. Первообразная. Доказать теоремы о первообразных. Неопределенный

интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов, ее вывод.

2. Интегрирование подстановкой и по частям – вывод. Примеры. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций.

3. Разложение правильной рациональной дроби в сумму простейших. Примеры. Интегрирование простейших дробей. Интегрирование неправильных рациональных дробей.

4. Определенный интеграл, его механический и геометрический смысл, теорема существования. Доказать линейность определенного интеграла и вывести формулу для определенного интеграла от константы.

5. Доказать теоремы о переходе в неравенстве к интегралам, об оценке и о среднем для определенного интеграла.

6. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Доказать теорему о производной интеграла с переменным верхним пределом. Вывести формулу Ньютона-Лейбница.

7. Вычисление определенного интеграла подстановкой и по частям (вывод). Интегрирование четных и нечетных функций на отрезке, симметричном относительно начала координат (вывод), интегрирование периодических функций. Примеры.

8. Несобственные интегралы 1-го и2-го рода, доказать их свойства. Признаки сходимости. Примеры. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Доказать теорему о связи абсолютной сходимости и обычной. Примеры.

9.Вычисление площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах (вывод).

10. Вычисление объемов тел по площадям поперечных сечений и объемов тел вращения (вывод).

11. Вычисление длины дуги кривой и площади поверхности вращения (вывод).

Модуль 2 Дифференциальные уравнения

12. Дифференциальные уравнения (ДУ_ 1-го порядка). Частные и общее решения ДУ, интегральные кривые. Задача Коши и теорема существования и единственности ее решения. Особые точки и особые решения ДУ. Примеры.

13. Геометрическая интерпретация ДУ 1-го порядка. Поле направлений. Геометрическое решение ДУ 1-го порядка с помощью изоклин. Примеры.

14. Простейшие типы ДУ 1-го порядка (с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли) и их решение. Примеры.

15. ДУ n-го порядка. Частные и общее решения. Задача Коши, ее геометрическая интерпретация при . Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Краевая задача.

16. Понижение порядка некоторых типов ДУ высших порядков.

17. Линейные ДУ (ЛДУ) п-го порядка: однородные (ОЛДУ) и неоднородные. Теорема о существовании и единственности решения. Линейный дифференциальный оператор. Доказать свойства линейного дифференциального оператора и линейность пространства решений ОЛДУ.

18. Линейная зависимость функций. Определитель Вронского (вронскиан). Доказать теорему о вронскиане системы линейно зависимых функций и теорему о вронскиане системы линейно независимых частных решений ОЛДУ.

19. Доказать теорему о размерности пространства решений ОЛДУ n-го порядка. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

20. Формула Остроградского-Лиувилля для ОЛДУ n-го порядка (вывод для ) и ее следствия.

21. Доказать теорему о структуре общего решения неоднородного ЛДУ n-го порядка и теорему о наложении частных решений.

22 ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение и построение общего решения по его корням (вывод для ).

23. Нахождение частных решений неоднородного ЛДУ с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

24. Метод вариации постоянных решения неоднородных ЛДУ n-го порядка (вывод для ).

25. Нормальные системы ДУ. Задача Коши и теорема о существовании и единственности ее решения. Сведение ДУ n-го порядка к нормальной системе, примеры. Сведение нормальной системы к одному уравнению n-го порядка (вывод для ), примеры.

26. Автономные системы ДУ. Фазовое пространство и фазовые траектории. Первые интегралы систем ДУ. Симметричная форма записи систем ДУ и ее применение к нахождению первых интегралов. Примеры.

27. Системы ЛДУ 1-го порядка, однородные и неоднородные. Матричная запись системы. Доказать линейность пространства решений системы ОЛДУ.

28. Вронскиан системы векторных функций и его свойства. Доказать теорему о размерности пространства решений системы ОЛДУ. Структура общего решения . Фундаментальная система решений.

29. Структура общего решения системы неоднородных ЛДУ. Метод вариации произвольных постоянных (вывод).

30. Системы ОЛДУ с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Построение общего решения по корням характеристического уравнения (вывод для случая вещественных различных корней).