Интегрирование тригонометрических функций
П
усть
требуется найти интеграл вида
П
рименим
подстановку тогда
Подстановка , носит название универсальной
тригонометрической подстановки; она сводит вычисление интеграла от тригонометрических функций к интегрированию рациональных выражений.
Например:
Обозначим тогда
Тогда
Интегралы от степеней тригонометрических функций
, где m и n –действительные числа
а) Пусть m и n –действительные числа и по крайней мере одно из них положительное, нечетное.
Пусть например n=2p+1 тогда подынтегральная функция может быть записана в виде
Обозначим sin x = t
=
Вычисление интеграла свелось к интегрированию рациональной функции
Пример 1:
sin x = t
Пример 2:
s
in
x = t
б) Пусть m и n действительные положительные четные числа (m=2p, n=2q), тогда интегрирование тригонометрических функций может быть сведено к интегрированию рациональных функций. Запишем, известные из тригонометрии формулы:
И подставляем их в подынтегральное выражение
Далее возведем двучлены в указанные степени, получим вновь четные и нечетные степени синуса и косинуса. Нечетные степени проинтегрируем как указано в пункте а) , четные степени снова понизим по формулам «четных степеней».
Н
апример:
